基于问题的学习让中职学生数学思维活起来

刘秋女

一、背景分析

数学思维，通常所指的是数学思维能力，即能够用数学的观点思考问题和解决问题的能力。基于问题的学习是以问题贯彻学习内容，将学习内容与学生的学习经验联系起来，把问题解决作为手段和目标。它与当前中小学提倡的自主探究、合作学习等多种学习方式相似，能有效地促进学生数学思维品质的发展，有助于更好地将枯燥乏味的数学理论课程转化为学生体验课程。自2010年起，广州市中等职业学校每两年开展一次数学应用（思维）能力竞赛，迄今为止共举办6次，目的在于提高学生的数学思维及数学应用能力。那如何将日常教学与比赛备赛结合起来，让更多的学生数学思维与应用能力能在常态化数学教学中得以發展，笔者以人教版“函数单调性”一课为例，根据学生数学学习的实际基础，科学设计问题并以问题学习为切入口，探索如何在中职课堂中激起学生思维碰撞的火花，让中职学生数学思维活起来，最终形成愿意思考、会思考的数学课堂。

二、教学案例

【教学内容】

《数学（基础模块）上册》（人民教育出版社）P66-P68，《3.1.3 函数的单调性》。

【教材分析】

函数的单调性从函数图像的角度出发，学生并不难理解，但要把这种直观认识上升为理性认识，即用符号语言刻画和描述函数的单调性时，大部分学生就有一定的困难，这个时候需要教师的引导与点拨，因此本节课重在函数单调性定义的形成及理解上，这也就是这节课所要重点解决的问题。且这种由图像到数学符号的数学学习思维也贯通了函数另一个性质——《函数奇偶性》的学习。

【教学目标】

1.函数单调性定义的理解及简单应用;

2.基于问题的学习中，体验函数单调性定义的“生成过程”，搭建数学思维阶梯，提升数学思维能力。

【教学重难点】

函数单调性定义的形成与理解。

【教学过程】

（一）课前微课学习

1.观看微课视频《函数的单调性》（图1）以及完成相关在线试题（图2）。

评析：通过课前微课告知学生的学习内容，学生在“微课”学习中遗留下的一些不理解的知识为课堂学习提供了一个重要的解决问题的契机。

（二）开门见山，提出问题

问题1：你能描述一下函数y=x2 图像（图3）的升降规律吗？

生1：图像在y轴右侧是上升的，在y轴右侧是下降的。

评析：让学生描述函数y=x2图像的升降规律，从观察具体函数图像为切入点提出这一基本问题，符合中职生数学思维水平，遵循数学思维发展从具体形象出发。问题是数学思维的起点，从基础问题出发能激活学生原来已经习得的数学知识，进一步激发学生学习函数单调性的好奇心和兴趣。

（三）感性认识增（减）函数

问题2：函数y=x2的图像在y轴右侧（左侧）是呈上升（下降）的趋势，那怎样利用自然语言描述这种“上升”呢？

师：也就是在特定的范围内，应变量y与自变量x的变化关系如何描述？

生1：函数图像在y轴右侧是上升的趋势可以描述为：当x>0时，应变量y随自变量x的增大而增大。

生2：函数图像在y轴左侧是下降的趋势可以描述为：当x<0时，应变量y随自变量x的增大而减小。

评析：学生在教师的引导下，根据当前的问题去调动、激活以往的经验、知识，以融会贯通的方式对学习内容进行重新组织，在解决问题中，发生思维的碰撞。

（四）理性分析增（减）函数

问题3：如何用符号语言描述这种“上升”或“下降”呢？

师：引导学生发现在（0，+）上，任意改变x1，x2的值，只要当x1

在（-，0）上，任意改变x1，x2的值，只要当x1x22。

评析：教师科学设问，学生经历从“图像”到“自然语言”最后“符号语言”三个梯度的体验，问题层层深入引导学生逐步深入思考。在问题解决的体验过程中，学生数学思维的广度和深度随之扩展，进而有效地激发学生抽象思维的发展，逐渐搭建数学思维能力。随后再给出增（减）函数的形式化定义，学生经历定义的形成过程，对定义的理解起来相对轻松，对帮助学突破难点有一定的作用。

（五）实际应用，发展提升

课堂例题及练习主要从两个方面设计，一方面是给出具体的函数图像（分有限区间及无限区间两类），确定函数的单调区间;另一方面是给出较简单函数的解析式（如一次函数f（x）=3x+2），请学生利用定义证明函数单调性的题目，最后引导学生总结解题步骤，其目的仍是帮助学理解函数单调性的含义，但根据中职生的知识基础及认知能力不宜成为重点。

（六）反例的独特作用

问题4：对于特定的两个x1，x2的值，当x1

生1：这个符合了增函数的定义，必然成立;生2：在函数y=x2中，也有当1<2时，有12<22，结果成立;生3：在函数y=2x中，也有当-2<5时，有-4<10，结果成立;

……

也有提出反对的意见：生3：在函数y=x2中，也有当-3<2时，却有（-3）2>22，结果不成立;更有学生举出反例：生4：在函数f（x）=-1x中，当-1<1时，却有f（-1）>f（1），结果不成立;

师：因此，在理解函数单调性的定义中，我们必须强调“任意”二字。任意性指的是两个自变量x1，x2的任意性，不能是给定的两个。

评析：课堂的精彩源于学生的即兴讨论。通过老师有意义的设问，对接点在于“任意”两字，全班学生的讨论、举例论证，学生会有一种豁然开朗的感觉，从而可以帮助学生深刻、准确地把握和理解单调性定义。所以，在课堂的教学中，教师如能充分地信任学生、不低估学生，学生的思维潜力将无限，课堂更加精彩。

三、教学思考

在中职数学的常规教学中，教师根据学情设计有意义、有梯度的问题，能有效激发学生发生思考，从而促进学生数学思维能力的发展，促使学生良好的思维品质的形成。

1.微课设问，激发思维碰撞

微课是一种教学辅助手段，它是一个教学载体，而“问题”是核心。在本课的教学中，课前以微课学习引领为手段，课中以问题驱动引领为主线。“微课”是推送给学生让学生课前学习，实际上是一种带有老师讲解的预习，学生可以有时间、有空间，反复推敲、琢磨重点与难点问题。课堂是师生交流、互动、探究的重要场所，它为学生在“微课”学习中遗留下的一些不理解的知识提供了一个重要的解决问题的契机。因此，结合教学目标在学生的最近发展区设计恰当的“问题”又成为备课的关键。课堂上引领学生以“问题为中心”开展讨论、交流，激起认知冲突、产生思维的碰撞，培养学生的思维能力，这才是课堂教学所追求的目标和方向。

2.問题引领，活跃思维能力

（1）问题引领学习，体验概念的生成过程

在《函数的单调性》课堂教学过程中，教师利用y=x2图像的变化趋势的问题点开门见山引入，引导学生独立思考。再过渡到数学的自然语言及数学的符号语言描述自变量x与因变量y的变化关系，最后给出增（减）函数的形式化定义。通过对问题的层层深入的解决，学生学习的成就感得以满足，这种感受会促使学生继续利用已有的知识去思考探索新知识，在探索中体验和领悟。

（2）问题引起质疑，创造课堂的最高境界

笔者的理解，课堂互动的最高境界是思维的碰撞，也是课堂上教师鼓励学生质疑，有学生不同的讨论声音，这样的课堂才有生机和活力。

基于问题学习的《函数单调性》教学中，依托课前微课设疑，课中问题贯穿整个教学始终，以问题激活学生的数学思维，关注学生数学思维的参与，学生的数学思维遵循从具体思维到抽象思维的发展规律，最后到达辩证思维的体验过程。总的来说，教师有意义地设计阶梯问题，将数学思维训练贯彻到常规课堂教学中，达到帮助学生逐渐形成良好的思维品质的目的。在“润物细无声”中，希望学生能在以后的学习中学会运用数学思维去解决问题，最高的层次乃是在生活中，具有数学思维，遇到问题能勇往直前地解决问题，这恰恰就是学习数学的最大的价值。

[本文是广州市教育科学规划2016年度立项课题：中职《数学（基础模块）》微课资源建设与应用的研究（课题编号：1201554663）的研究成果。]

责任编辑朱守锂