运用变式让学生经历知识生长过程

陈于青

学习的实质是学生从原有认知结构走向目标认知结构的过程，其间一定伴随着知识的生长，具体到数学学科，“知识”应包含“数学学科性知识”和“特定的经验系统”。变式教学作为我国数学基础教育的一条重要经验，顾泠沅教授做了系统而深入的研究，提出了概念性变式和过程性变式两大基本策略，对加深知识数学化过程体验、促进知识生长有极大的作用。本文结合北师大版四年级下册“等量关系”的教学实践，阐述变式教学的具体实施策略。

一、把握内涵本质，找准生长靶点

唯有立足更高的视角，把握数学知识、思想方法的内涵本质，才能把握教学的主线，有的放矢，避免教学时“剑走偏锋”“舍本逐末”“事倍功半”。

1.厘清知识结构，明确目标

等量关系是方程的核心，史宁中教授认为，方程的本质是“在讲两个故事，这两个故事在数量上相等”。北师大版教材为等量关系安排了独立的课时进行学习，突出体现了等量关系作为核心知识的作用与价值。因此本节课的主要目标应该是认识“什么是等量关系”“如何找到并表达等量关系”。

教材中问题三：“他们还找到了这样的等量关系，你能看懂吗？”引导学生尝试用不同的式子表示相同的等量关系，例如，a+b=c，也可以写成c-b=a、c-a=b等形式。这个问题的设计笔者是存疑的，引导学生用不同的等式表示相同的等量关系，进行的是数量关系式之间的转化，是算术思维，凸显的是从已知量推导出未知量的思维方式。而本单元的学习内容是方程，方程思想的本质是建立等量关系，将未知量和已知量置于同等地位参与运算，用运算来解决数量关系转化的思维难点，是方程思想和代数方法的最大价值所在，这也正是学生理解方程思想的关键所在。因此，笔者认为至少在本节课上不宜过多地让学生进行等量关系式之间的转化。

2.剖析学习经验，明确路径

学生对等量关系的无意识体验是丰富的，从一年级的加减算式到简单问题的解决，无一不在使用等量关系，只不过不知道“1+2=3”就是等量关系而已，因此等量关系的外显形式对学生来说只是老朋友换一个名称而已。然而对等量关系本质内涵理解多数是不到位的（等量关系是数量之间一种相等平衡的状态和关系，实质是方程思想）。笔者也对五年级学生做过问卷调查：多数学生可以写出简单的等量关系，但是几乎很少有学生能说明等量关系是怎么写出来的。学生从数量关系的语言描述转化为等量关系式缺少具体的方法。

因此，教学应直击等量关系的本质内涵和学生学习的“痛点”，围绕“什么是等量关系”和“如何找到并表示等量关系”两个问题展开。认识等量关系首先应让学生明白“=”是表示两边相等状态的符号，打破原来认为“=”是“算式和答案”“已知数和未知数”的连接符的错误认知。笔者认为天平模型是破解“理解、找到、表示等量关系”难题的关键，而教材中只用了天平模型解决“什么是等量关系”的问题，在“如何表示等量关系”环节让学生从数量关系语言描述直接到高度抽象的关系式表达，对很多学生来说是一道无法轻易跨越的鸿沟，而天平模型就是一座很好的桥梁。

二、概念性变式，理解生长要点

运用概念性变式，从多角度理解概念，可以加深对概念的理解。因此，在本节课的概念要点“什么是等量关系”，可以运用概念性变式促进理解。

1.直观的变式，降低难度

等量关系的概念具有抽象性，理解有一定的难度，但学生有充分的“跷跷板”“天平”等感性经验，建立跷跷板（感性经验）和等量关系（抽象概念）、跷跷板平衡状态（感性经验）和等号（抽象概念）之间的联系，大大降低了学生的理解难度。例如，跷跷板上的数学。

问题1：能说说跷跷板上动物重量的关系吗？

生：1只鹅比2只鸭子重。

生：1只鹅比3只鸭子轻。

生：1只鹅与2只鸭和1只鸡合起来一样重。

问题2：如果用数学符号来表示这3个跷跷板上物体重量的状态，你会用什么符号？

生：第一个用“>”，第二个用“<”，第三个

用“=”。

问题3：如果要把这3个状态不同的跷跷板分成两类，你会怎么分？

生：把第1个和第2个分为一类，第3个单独为一类，因为第3个最特别，刚好两边一样重。

师小结：今天我们就来研究学习这种两边刚好物体重量相等的状态，也就是同类物体两部分的量相等的关系，数学上称为等量关系。

2.反例的变式，凸显属性

通过正例和反例的变式的对比，可以突出概念的本质属性，明晰概念的外延，如在上例中，通过分类、对比重量“相等”和“不等”两种状态，凸显等量关系的本质属性——两边要一样多。

三、过程性变式，连接生长断点

从五年级学生的后测中反映出从语言文字、线段图等数量关系的表达方式中找到等量关系并用等式表达之间，存在着一条多数学生难以逾越的鸿沟，是知识生长的断点。运用过程性变式，设置合理的铺垫，有层次地推进教学活动，让学生经历知识数学化的全过程，降低难度，加深理解。

1.层次一：重量天平模型

问题1：你能在这3幅图中找到等量关系吗？如果有，请用等式表示出来。

生：第一个天平图中不是等量关系，第二个和第三个是等量关系，我是这样表示的：100克+樱桃克=苹果克，2×鸡蛋克=100克。

问题2：我们刚才是怎样把天平上的等量关系克表示成等式的呢？

生：只要把平衡的天平左右两边的物体重量分别“抄”在等号的两边就行了。

2.层次二：数量天平模型

课件出示以下内容（见图3）。

图3

问题1：这个天平的等量关系能表示出来吗？

生：可以，3×数学故事单价=15.6元

问题2：这个天平表示的好像不是重量？也没问题吗？

生：没问题，它表示左右两边钱一样多。

3.层次三：自构天平模型

请你再找一找，下面的两条信息中有等量关系吗？如果有，请你用等式表示出来。

（学生沉默，教师引导小组交流。）

生1：我认为没有等量关系，男生人数和女生人数不一样多，足球和篮球的价格也不同。  （部分学生点头赞同。）

生2：我认为有等量关系，第一条实际就是男生人数是女生的3倍，所以“男生人数=女生人数×3”，第二条是“篮球的单价=足球单价+80元”。（多数学生附和表示同意。）

师：看来这两条信息里还是有等量关系的，那为什么刚才很多同学没有发现呢？

生：因为没有天平。

师：对啊，如果有天平就容易多了，那我们能不能在脑中想象一个数学的天平，根据给我们的信息，创造一个平衡的天平呢？

小结：其实等式就是“数学的天平”，等量关系有时还可以自己构造。它除了可以放质量，还可以放长度、数、价格等，可能放的东西不同，但两边东西的量一样多。

4.层次四：多元表征等式

“3×篮球的单价=5×足球的单价+60元”，你能看懂这个等式所表达的等量关系吗？你能用其他方式表示出来吗？

通过四个层次的变式铺垫，有层次地推进教学活动，依托天平模型，连接知识生长的断点、难点，让学生在直观、半直观、半抽象、抽象中来回穿梭，深刻经历知识生长的全过程，真正理解等量关系的内涵本质。

如果學习是一次有目的地的旅行，需要教师成为优秀的“司机”，抓好“方向盘”（把握目标方向）;成为优秀的 “导游”，引导多看“几个面”（概念性变式，多角度理解）;成为优秀的“设计师”，设计好“路线”（过程性变式，有层次推进）。

（作者单位：浙江师范大学附属义乌小学）

责任编辑：肖佳晓

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