四边形上一种线性双有理映射构造方法

吴 梦，陈 冲，王旭辉，钱毅加

四边形上一种线性双有理映射构造方法

吴 梦，陈 冲，王旭辉，钱毅加

(合肥工业大学数学学院，安徽 合肥 230009)

作为一种特殊的有理映射，双有理映射可应用于图像变形、等几何分析中区域参数化中。针对文献[1]通过几何方法构造四边形上的双有理映射，需要先确定权值再构造的问题，提出一种基于动直线的方法，可直接构造四边形上的双有理映射。此外，通过选择不同的参数，可以得到四边形上不同的双有理映射。验证可知，该方法满足文献[1]提出的权值比例关系，并通过实例说明了其有效性。

双有理映射；动直线；权值

双有理映射是一种特殊的有理映射，其映射与逆映射均为有理的。具体到二元有理映射情形，给定二元有理映射(,)，若其满足：

双有理映射具有形式简单便于计算等特性，且在计算机图形学和几何设计中发挥着重要的作用[2]，同时也在图像变形和图像修复上有着广泛的应用[3]，HUDSON[4]基于Cremona变换讨论了二维有理映射的数学理论，但具体应用时需要考虑双有理映射的构造问题，这也是十分新颖的问题。近年来，文献[1]针对四边形情形，通过事先对四边形的顶点赋予适当的权值，提出了一种四边形上的双有理映射的构造方法，同时FLOATER[5]又从重心的角度出发，重新解释了在四边形上的双有理映射，并且给出了其逆映射的一般形式。文献[6]通过建立凸六面体的重心坐标，找到了满足特殊条件的权值的构造方法，给出了在凸六面体上的三线性映射为双有理映射。

动直线是由COX等[7]提出的，是一种解决曲面表示与计算的代数工具，在曲线曲面隐式化、坐标参数化以及奇点计算等方面有着广泛的应用[8]。

本文从动直线出发，不需要事先通过对顶点赋权值来构造四边形上的双有理映射，从而直接给出四边形上的一种双有理映射。

1 四边形上的双有理映射

则定义在该四边形上的双线性映射为

一般情况下，该映射不是双有理映射。然而，文献[1]将顶点赋上适当的权值w，通过计算，发现了权值需要满足的关系式，即当权值满足比例关系