探析坐标几何的应用意义及其在计算机中的实现

◆白雨飞

(河北省石家庄市第二中学)

一、引言

随着人们对大自然的探索与开发，人们对几何图形的应用日益增多，也逐渐体会到了其形状的美丽，从而引发了人们对几何图形的研究，几何学应运而生。随着对几何图形研究的不断深入，人们发现用边角关系推算类似圆锥曲线等复杂图形时十分困难，直到1637年笛卡尔发明了坐标系，通过借助坐标系采用代数方法解决几何问题，可以把原本复杂几何关系转换为简单的代数运算，使得人们对几何的认识更进一步。在计算机出现和发展之后，如何将几何图形呈现在计算机上成了一个迫在眉梢的问题。而坐标几何就成了一个有利的手段，它在计算机中的实现一时成了人们研究的重要方向。

坐标几何作为客观几何与计算机图形实现的纽带，其作用是十分巨大的。基于坐标几何的重要作用，对坐标几何的应用意义及其在计算机中的实现进行了深入的分析与总结，以此为进一步认识数学与计算机之间的关系奠定基础。

二、坐标几何及其应用

1.坐标几何概念

坐标几何是在笛卡尔坐标系的基础上，由笛卡尔和费马等数学家创立与发展的，用解析式法探究平面几何中几何对象性质和关系的一门几何学分支。坐标几何包括平面坐标几何与立体坐标几何两部分，通过笛卡尔坐标系，建立实数与坐标点的一一对应关系，和空间点线面与方程一一对应的关系，运用代数处理方法研究几何图形的性质，或用几何图形的性质研究代数问题。

2.坐标几何的应用技巧

在面对平面解析几何或立体几何类型的问题时，应先在最便于构造垂直的位置建立坐标系，之后用长度关系将各点用坐标表示，进而可以将点、线、面、体的几何关系表示为坐标或方程，将所求结论转化为函数解析式组，并联立求解相关的问题。结合笔者的一些应用经历，有些问题可以通过坐标几何的方法进行简化处理。

(1)当遇到与向量垂直有关的问题时，若向量表示出现分数，则可直接同乘最小公倍数去掉分母，简化后面运算且不会影响结果的准确性。

(2)当遇到斜率相同的线段长度比值时，可直接转化为投影长度比，将大幅节省时间。

(3)在高中解析几何问题求解过程中，有许多方便的结论可以直接使用，在许多题目中均可简化过程：

①在椭圆x2/a2+y2/b2=1中，若P为椭圆上的一点(x0，y0)，则P的切线方程为x*x0/a2+y*y0/b2=1。

②在椭圆x2/a2+y2/b2=1中，若P为椭圆外的一点(x0，y0)，则过P引椭圆的两条切线切于P1，P2，过P1P2的直线方程为x*x0/a2+y*y0/b2=1。

③在椭圆x2/a2+y2/b2=1中，不平行于椭圆长短轴的直线交椭圆于A，B两点，M为AB中点，kab为AB斜率，koM为OM斜率，则kab*koM=-a2/b2。

3.坐标几何的应用意义

在现今的高考及竞赛考纲中，解析几何都是重点考查内容，且分值占总分的比例较高，而且其他部分多数可以用坐标几何的方法及思想解决。在生活中，坐标几何也为生产提供了便利。在机械零件设计图中，仅用简单标识的方法很难精准表示每个零件位置，而用坐标几何的坐标表示则极为便利且精确。

坐标几何的创立，在当时便体现出了巨大的价值，而在300多年之后，计算机得到大量使用时，解析想法发挥了重要作用，对于算法、几何图形在计算机中的表达和程序的编写都奠定了基础，成为计算机应用技术发展必不可缺的一部分。

三、坐标几何在计算机中的表达

1.常见几何图形的表达方法

点、线、面、体是我们目前三维空间所有几何图形的基础描述方法。在一般认知中，我们认为点没有大小，只有位置，而线的形成则是由点移动得到的，面是由线移动得到的，体是由面移动得到的。

在三维直角坐标系中，若用x值描述横轴数值，y值描述纵轴数值，z轴描述竖轴数值，用(x，y，z)数对来描述点的位置，用三个不共线的确定的点来确定一个平面，一般用Ax+By+Cz+D=0表示平面，通过待定系数的方法可以求得唯一的A、B、C、D，因此就得到一个确定平面方程，即所谓的三点确定一个平面。

在平面方程已知的情况下，便可以通过两平面来描述直线，因为任何一条直线可以看成两个面的交线，只要将两个平面方程联立即可，如联立A1x+B1y+C1z+D1=0与A2x+B2y+C2z+D2=0，相应的其标准式可以写为(x-x0)/a=(y-y0)/b=(z-z0)/c，其中(a，b，c)为该直线的方向向量。从这里可以想到，立体结构可以由系列面的不等式组构成，这里的面包括曲面，典型的比如长方体，则可以由六个平面不等式组联立得到。

2.计算机图形的几何变换方法

计算机的图形显示是依赖于几何坐标实现的，只要是计算机图形软件，其内部的机理本质上就是空间坐标的运算，比如涉及计算机图像的几何变换，如常见的有空间平移、按特定位置旋转、按比例要求缩放和仿射变换等。

图像的几何变换实质是改变图像像素空间位置，按照变化关系计算图像在新空间的像素值。一般而言，图像的几何变换表达式如式(1)所示。

3.计算机图形的几何变换案例

在计算机图形变化中，对图像进行方向、尺寸和形状等方面的变换本质上是通过改变图像的坐标描述来实现。现假设一个三角形三个顶点的坐标为{100，50}，{200，50}，{150，150}，则通过建立一个1000*1000的工作窗口，并定义该工作窗口左上角原始坐标位于(100，100)处。则在计算机图形中通过软件可以绘制该三角形，并通过简单的程序可以进行一些特定的几何变换，如第一步将三角形沿中心x轴和y轴方向缩小1/2，第二步将图像沿着初始的位置中心旋转90ο，第三步则将图像沿着y轴平移200个单位。通过编写相应的程序如下：

/*****开始：建立画图窗口，指定屏幕左上角坐标*****/

glutInitWindowSize(1000，1000)；

glutInitWindowPosition(100，100)；

/*****结束：建立画图窗口，指定屏幕左上角坐标*****/

/*************开始：按要求画出三角形*************/

void draw_triangle(void)//绘制三角形

{

glBegin(GL_TRIANGLES)；//开始画三角形

glVertex2f(50，50)；

glVertex2f(200，50)；

glVertex2f(150，50)；

glEnd()；

}

/*************结束：按要求画出三角形*************/

/*************开始：功能实现*************/

glScalef (0.5， 0.5， 1.0)；//沿着其中心的x轴，y轴方向缩小%

glTranslatef(0.0，200.0，0.0)；//平移200个单位

glRotatef(90.0，0.0，0.0，1.0)；//旋转90度

glColor3f(0.0，255.0，1.0)；

draw_triangle()；

/*************结束：功能实现*************/

即可得到相应的效果，如图1所示。可见，在计算机图形变换中主要是实现坐标的运算，也正是有坐标几何的理论基础，才有如今的计算机图形发展，这给计算机的发展带来了巨大的推动作用。

四、结论

从坐标几何创立至今，它的应用范围正在不断扩大，人们的重视程度也在不断增加。可以说，坐标几何是机械化与信息化发展的重要动力，而在计算机中的实现则是较主要的研究方向及应用方式，所以，坐标几何在计算机中的应用已经成为众多计算机应用科学的关键。通过文章对坐标几何的应用意义和在计算机中的实现方法的研究阐述，可以看到坐标几何作为计算机相关学科发展的基础，具有重要的理论价值和应用价值，需要得到初学者的重视。