不同约束条件下风机塔筒扭转自由振动特性分析

王清波，赵朝前，陈婷

(四川建筑职业技术学院 1.土木工程系；2.基础教学部，四川 德阳，618000；)

塔筒是风机结构的重要组成部分，它的振动会导致风机结构变形、附加应力等，影响风机的寿命，尤其是风轮转频与塔筒固有频率接近时，风机塔筒将发生共振，容易导致风机倒塌。因此，在塔筒设计[1-2]过程中，分析不同边界条件对塔筒的固有频率的影响就显得尤为重要。

对风机塔筒扭转振动分析，可以将风机塔筒简化为变截面悬臂梁来分析。针对风机塔筒的扭转分析，文献[3]对某1.5MW双馈异步风电机组轴系的扭转进行了建模，建立了多轴系的集中质量模型，计算并分析了风机轴系扭转振型及固有频率，并利用有限元软件进行了验证；文献[4]对机电耦合作用下变频调速驱动风机轴系扭转振动失稳进行了分析，建立了风机轴系机电耦合扭转振动动力学模型，分析了扭矩脉动情况下的频谱特性，并对轴系扭矩和扭转振动进行了测试分析；文献[5]用一种近似方法求解了复杂轴系扭转振动动力特性，采用Ritz展开和摄动分析结合的方法，对非均质变截面复杂轴的扭转振动动力特性进行了求解；文献[6]分析了任意边界条件弹性杆结构扭转振动特性，采用改进傅里叶技术方法建立了任意边界条件弹性杆扭转振动特性预报模型，得到了弹性杆扭转振动问题的特征矩阵方程；文献[7] 提出了适用于工程的小波变换的表述方法，对汽轮发电机组轴系扭转振动进行了分析；文献[8]使用摄动法研究变截面杆扭转振动特性，结合边界条件得到了固有频率的特征方程和频率参数；文献[9]提出了一种精确方法分析了多跨支撑和带有附加质量梁的弯扭耦合自由振动；文献[10]使用转换微分传递法对非均质薄壁梁的弯扭耦合振动进行了求解，并与有限元软件计算的结果进行了对比，验证了该方法的正确性。综上所述，对风机轴系的扭转振动计算分析大多使用传统算法，这对非均质变截面的轴系计算分析不仅复杂，而且精度不高。不仅如此，文献对风机塔筒实际边界条件并没有建模。为此，文章使用微分求积法对实际边界条件下的风机塔筒的扭转振动特性进行计算，结果表明，该方法仅取较少的节点就能得到较高的精度，是一种高效的数值方法，其原理见文献[11-13]。

1 风机塔筒自由扭转振动方程

风机塔筒一般采用管式结构，可将其简化为悬臂梁，如图1所示，图中o为塔基截面中心，ox沿塔筒轴线方向，oy轴在塔基平面内，且与ox轴垂直，塔筒长度为L。根据材料力学和振动力学[14-16]的知识，风机塔筒自由扭转振动方程为

图1 变截面管式塔筒Fig.1 The tower of wind turbine with a variable cross-section

(1)

其中:ρ(x)为单位体质质量，kg/m3；Ip(x)为x截面对其中心的极惯性矩，m4；G(x)为x截面的切变模量，Pa；θ(x，t)为塔筒x截面处在t时刻相对左端面的扭转角，rad。设θ=Y(x)eiωt，Y(x)为塔筒扭转振动位移分布函数，将其代入上式，得

(2)

其中：ω为塔筒的圆频率。

风机塔筒在弹性地基下的扭转自由振动分析，可将地基抗扭刚度用扭转弹簧表示，并假设其刚度为Kt。考虑到风机的吊装过程，须要对仅安装了机舱的塔筒和全部吊装完成(安装了机舱和风轮)进行振动特性分析。对于塔筒顶端的机舱，在振动特性分析时，可简化为集中质量，并假设机舱质量为Ma。对机舱和风轮在振动特性分析时，可尝试性的将其简化为一圆盘，圆盘的转动惯量由机舱和风轮几何特性共同决定，他们之间的真实关系需要大量的实验和仿真分析得出。作为理论分析，设圆盘的转动惯量为Ja。为此，风机塔筒的边界条件为

刚性地基：

θ(0，t)=0

(3)

弹性地基：

(4)

自由端：

(5)

安装了机舱：

(6)

其中：R为机舱的回转半径，由机舱的结构形式决定。

安装了风轮和机舱：

(7)

假设风机塔筒为非均质变截面结构，单位体积质量ρ、切变模量G和极惯性矩Ip均是塔筒高度x的函数，设ρ=ρ0k1(x)，G=G0k2(x)，Ip=Ip0k3(x)，ρ0、G0和Ip0分别为塔基单位体积密度、切变模量和截面对圆心的极惯性矩，令无量纲变量X=x/L，将上式代入式(2)得

(8)

微分求积法是利用Lagrange插值或样条插值将未知函数用离散点函数值的加权线性和来表示，可以建微分方程转变成以离散点函数值的未知量方程组，最后求出数值解。其原理简单，计算量小，易于在计算机上实现，对高阶微分方程和耦合微分方程组的求解有着独有的优势。按照微分求积法基本原理和求解过程，式(8)的微分求积形式为

(9)

风机塔筒边界条件的微分求积形式如下

刚性地基：

Y1=0

(10)

弹性地基：

(11)

自由端：

(12)

安装了机舱：

(13)

安装了风轮和机舱：

(14)

式(9)与边界条件写成矩阵的形式如下

{[A]+λ2[B]}{Yj}=0

(15)

令式(15)系数矩阵行列式为零，可求出风机扭转无量纲固有频率及相应的振型。

2 数值算例

2.1 均质等截面塔筒数值算例

对于风机塔筒，取k1=(1-b1X)，k2=(1-b2X)，k3=(1-b3X)3。式中b1、b2和b3分别反映了塔筒单位体积质量变化、切变模量变化和截面变化情况的参数，可分别称其为质量变化系数、切变模量变化系数和截面变化系数。当b1=b2=b3=0时，风机塔筒退化为均质等截面塔筒，表1给出了不同节点下风机塔筒扭转无量纲固有频率计算结果。可以看出，对塔筒扭转低阶固有频率，使用微分求积法仅取很少的节点便能得到高精度的结果。当节点N=14时，求得风机塔筒前六阶扭转无量纲固有频率均具有很高精度，因此，文中结果均为N=14时求得。

参数γ1体现的是弹性地基抗扭刚度，可称其为地基抗扭刚度系数。参数γ2和γ3分别与机舱重量和圆盘转动惯量相关。当γ1=100，γ2=0.1，γ3=0.5时，表2给出了不同边界条件下风机塔筒扭转无量纲固有频率。表2可以看出，弹性地基较刚性地基降低了风机塔筒扭转无量纲固有频率，安装了机舱和风轮的塔筒较单独塔筒的扭转无量纲固有频率要小，这是因为机舱和风轮相当于增加了塔筒的重量。

表1 均质等截面塔筒扭转无量纲固有频率
Table 1 The dimensionless torsional vibration natural frequency of a tower with ahomogeneous and uniform cross-section

塔筒扭转无量纲固有频率一阶二阶三阶四阶五阶六阶数值解(N=8)1.5714.7137.88110.97913.56922.327数值解(N=10)1.5714.7127.85310.99914.26317.259数值解(N=12)1.5714.7127.85410.99514.11917.256数值解(N=14)1.5714.7127.85410.99614.13917.278精确解[16]1.5714.7127.85410.99614.13717.279

表2 不同边界条件下均质等截面塔筒扭转无量纲固有频率
Table 2 The dimensionless torsional vibration natural frequency of a tower with a homogeneous material andconstant section under different boundary conditions

阶数塔筒扭转无量纲固有频率λ[-]固+自由弹+自由固+机舱弹+机舱固+机舱+风轮弹+机舱+风轮λ11.57 1.561.431.421.081.07λ24.714.674.314.273.653.61λ37.857.787.237.166.586.52λ411.0010.8910.2010.109.639.53λ514.1414.0013.2213.0912.7212.60λ617.2817.1116.2616.1015.8315.68

2.2 非均质变截面塔筒数值算例

当b1，b2和b3均不为零时，风机塔筒为非均质变截面塔筒，对弹性地基下安装了机舱和风轮的风机塔筒，当γ3=0.5，b1=b2=b3=0.1时，弹性地基下安装了机舱和风轮的塔筒扭转振动前六阶振型如图2所示。表3给出了不同地基抗扭刚度下风机塔筒扭转无量纲固有频率结果。表3可以看出，地基抗扭刚度越大，风机塔筒扭转无量纲固有频率越大，且地基抗扭刚度系数对低阶频率的影响更大。当γ1≥104时，风机塔筒扭转无量纲固有频率不再变化，弹性地基已接近于刚性地基。

表3 不同地基抗扭刚度系数下塔筒扭转无量纲固有频率
Table 3 The dimensionless torsional vibration natural frequency of a tower with differentζ1

阶数塔筒扭转无量纲固有频率λ[-]ζ1=10-2ζ1=100ζ1=102ζ1=104ζ1=105λ10.090.761.181.191.19λ22.262.573.633.663.66λ35.065.246.526.586.58λ48.088.199.549.639.63λ511.1611.2412.6012.7212.72λ614.2714.3315.6815.8315.83

当γ1=102，b1=b2=b3=0.1时，表4给出了不同机舱和风轮转动惯量下风机塔筒扭转无量纲固有频率结果。表4可以看出，机舱和风轮转动惯量越大，风机塔筒扭转无量纲固有频率越小，且机舱和风轮转动惯量对低阶频率的影响更大。

表4 不同ζ3下塔筒扭转无量纲固有频率
Table 4 The dimensionless torsional vibration natural frequency of a tower with differentζ3

阶数塔筒扭转无量纲固有频率λ[-]ζ3=0.1ζ3=1ζ3=5ζ3=10ζ3=100λ11.550.950.480.340.11λ24.313.403.183.143.12λ37.186.386.256.246.22λ410.129.449.359.349.34λ513.1012.5212.4612.4512.44λ616.1115.6215.5715.5615.56

当γ1=100，γ3=0.5，b2=b3=0.1时，表5给出了b1对塔筒扭转无量纲固有频率结果。表5可以看出，风机塔筒扭转无量纲固有频率随质量变化系数增大而增大，且质量变化系数对风机塔筒扭转低阶无量纲固有频率影响较小。

表5 不同b1值下的塔筒扭转无量纲固有频率
Table 5 The dimensionless torsional vibration natural frequency of a wind turbine tower for differentb1values

阶数塔筒扭转无量纲固有频率λ[-]b1=0.2b1=0.3b1=0.4b1=0.5b1=0.6b1=0.7b1=0.8b1=0.9λ11.201.231.251.271.301.331.361.39λ23.703.783.853.934.024.124.244.36λ36.686.857.047.257.497.768.078.43λ49.7910.0610.3610.7011.0811.5212.0312.63λ512.9413.3113.7214.1814.7015.3016.0116.85λ616.1116.5717.0917.6818.3419.1020.0021.08

图2 弹性地基下风机塔筒扭转振型Fig.2 The mode shapes of a wind turbine tower under elastic foundation

表6给出了b1=b3=0.1时，b2对塔筒扭转无量纲固有频率结果。表6可以看出，风机塔筒扭转无量纲固有频率随切变模量变化系数增大而减少，且切变模量变化系数同样对风机塔筒扭转低阶无量纲固有频率影响较小。表7给出了b1=b2=0.1时，b3对塔筒扭转无量纲固有频率结果。表7可以看出，截面变化系数仅对风机塔筒扭转前二阶无量纲固有频率有影响，对高阶频率几乎没有影响。

表6 不同b2值下的塔筒扭转无量纲固有频率
Table 6 The dimensionless torsional vibration natural frequency of a wind turbine tower for differentb2values

阶数塔筒扭转无量纲固有频率λ[-]b2=0.2b2=0.3b2=0.4b2=0.5b2=0.6b2=0.7b2=0.8b2=0.9λ11.191.201.221.231.241.261.281.30λ23.573.503.433.363.293.213.123.02λ36.376.216.045.855.655.445.194.91λ49.309.048.778.478.157.797.376.87λ512.2711.9211.5411.1410.6910.199.618.89λ615.2614.8214.3413.8313.2612.6211.8810.93

表7 不同b3值下的塔筒扭转无量纲固有频率
Table 7 The dimensionless torsional vibration natural frequency of a wind turbine tower for differentb3values

阶数塔筒扭转无量纲固有频率λ[-]b3=0.2b3=0.3b3=0.4b3=0.5b3=0.6b3=0.7b3=0.8b3=0.9λ11.281.411.561.752.012.362.853.42λ23.643.673.703.753.833.974.295.41λ36.536.546.556.576.606.656.747.03λ49.549.559.559.579.599.629.689.82λ512.6012.6112.6112.6212.6312.6612.7012.82λ615.6815.6815.6915.7015.7115.7215.7615.86

3 结论

边界条件对风机塔筒扭转振动特性影响较大，文中对不同边界条件下风机塔筒扭转振动固有频率和振型进行了求解分析，求解结果对风机塔筒的设计有一定指导意义，具体结论如下：

1)微分求积法求解风机塔筒扭转无量纲固有频率精度较高，计算量小。

2)风机塔筒扭转无量纲固有频率与地基刚度成正比，机舱和风轮降低了塔筒扭转无量纲固有频率。

3)风机塔筒扭转无量纲固有频率随质量变化系数增大而增大、随切变模量变化系数增大而减小，且质量变化系数和切变模量变化系数均对高阶频率影响较大，对低阶频率影响较小。

4)截面变化系数仅影响风机塔筒扭转前二阶无量纲固有频率，对高阶频率几乎没有影响。