角度制与弧度制

2019-09-10 13:22:37 新高考·高一数学 2019年2期

孙洋

在初中数学中,我们对角的度量,采用的是角度制.到了高中,课本上又介绍了一种新的度量角的方法——弧度制.弧度制,顾名思义,用弧长来度量角的方法,我们用弧长与半径的比来刻画圆心角的大小,

引入弧度制有何意义呢?

谈到弧度制,我们首先要了解三角学.公元前约300年古巴比伦时期开始到公元640年古希腊数学落幕是三角学的萌芽时期,在那一时期,由于天文学的需要,三角学受到学者们的重视,它是天文学的一部分,其主要任务是计算圆的问题.从公元640年古希腊数学落幕后到15世纪文艺复兴开始前是三角学的传播时期,三角学逐渐从天文学里脱离出来,成为数学的一个分支,但这段时期的三角学与古希腊时期的三角学没有本质上的区别,从文艺复兴开始至今为三角学的确立时期.印度数学家利提克斯将正弦、余弦、正切、余切、正割和余割定义成直角三角形边长的比,这样三角学就不必再依附于网而仅在一个直角三角形中存在.

随着微积分的出现,三角学的重点逐渐由计算变成函数方法.而严格的弧度制是由大数学家欧拉提出的,并逐渐被大家接受和广泛使用.也就是说,在研究三角学的过程中,人们确实是先使用了角度制,后来又引入了弧度制,并且随着数学的发展,弧度制逐渐替代了角度制成为度量角的单位制度.可是,原因义是什么呢?

角度制,是将一个周角360等分,取一份为1°,将1°的角60等分,取一份为1',将1'的角60等分,取一份为1".所以,角度制的进制是六十进制.在古巴比伦和古希腊时期,人们已经普遍习惯了这种角的度量制.古巴比伦人为了研究圆内三角问题的方便,他们甚至将弧长和半径也使用六十进制表示,并且编制了各种弦表以方便计算.但是对长度的度量,人们更习惯用十进制来表示,这就造成了进制的不统一,使得在三角函数的计算过程中计算和查表变得很不方便.而引入弧度制,进制的不统一就得到了自然的解决.作为函数,弧度制还使得函数的白变量和应变量的形式统一成长度的比值.自变量角,使用弧长与半径的比,应变量三角函数,使用了直角三角形两边的比.当然,弧度制被广泛接受,更是受到微积分的推动.在微积分的很多公式中,角的度量使用弧度制会比使用角度制来得更加直观和方便,当然,这部分内容,同学们只有到了高等数学中才能真正的有所体会.这也是为什么我们的同学不能深刻体会弧度制优越性的原因.

了解了上面的历史知识,我们应该发现,使用弧度制替代角度制来度量角是很重要的.弧度制直接沟通了弧长和圆心角之间的关系,大家熟悉以后也会发现在解决一些弧长的问题时使用弧度制很方便.比如:若扇形的半径变为原来的3倍,但是弧长不变,则弧所对的圆心角变为原来的弧所对的圆心角的几倍?这个题目,因为缺少具体的扇形半径与弧长,所以无法算出前后两个圆心角的大小.如果使用角度制,可以利用公式l=n/180兀r得到圆心角n与半径r成反比,得到答案1/3,不过公式里面还有系数π/180;如果使用弧度制公式l=ar,直接得到网心角α与半径r成反比,得到答案1/3.从这里可以看出,弧度制简化了公式的形式.

我们再来看下面这个例子:已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角为多少的时候,扇形的面积最大?如果利用角度制,半径r和圆心角n之间满足20=2r+n/180兀r,目标函数扇形面积S=n/360兀r2,如果消去r,则得到关于n的函数S=n/360兀·(3600/3600+nπ)2=36000/n2+720+3602/n≤25,当且仅当nπ2=3602/n,即n=360/π時取等号;如果消去n,则得到关于半径r的函数s=1/360·360(10 -r)/πr·=r(10-r)≤25,当且仅当r=10-r,即r=5时取等号.后者运算量稍小,但是公式的化简方面还是有些困难的.

那我们再试试利用弧度制运算,半径r与网心角α之间满足2r+ αr=20,目标函数扇形面积s=1/2αr2,如果消去r,得到关于圆心角α的函数s=1/2α·(20/α+2)2=200/α+4+4/α≤25,当且仅当α=4/,即α=2时取等号;又如果消去α,得到关于半径r的函数S=1/2·20-2r/r·r2= r(10-r)≤25,当且仅当r=10-r,即r=5时取等号.

哪种表示方法好,一目了然.