浅谈“数形结合”在计算教学中的运用

叶信丽

摘 要：计算教学抽象、枯燥。教师在计算教学中可运用“数形结合”，通过以形感知，理解算式意义;以形促思，探究计算算理;以形建模，掌握计算法则的方式，促使学生对运算意义的正确理解，领会运算算理，使形象思维与抽象运算完美结合。

关键词：数形结合;运算意义;计算算理;计算法则

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 收稿日期：2019-03-18 文章编号：1674-120X（2019）21-0066-02

数形结合不仅是一种很好的数学教学方法，也是小学生学习数学的一种重要辅助方法。小学计算教学抽象、枯燥、乏味。在计算教学中，“数形结合”就是把计算教学中的运算意义、数量关系、算理等与图形图像有效结合，从而使“数”和“形”相辅相成，把抽象的数学问题变得具体形象。在计算教学中恰当地运用数形结合，能促进学生正确理解数的运算意义，深刻领会数的计算算理，使形象思维与抽象运算完美统一。

一、以形感知，理解算式意义

数学算式是数学的语言，具有抽象概括的特点，小学生受原有认知经验的影响，往往不能正确理解它的意思。算式是计算的起点，如果连算式的意义都不理解，又谈何正确地计算呢？所以在小学阶段，结合图形能让学生正确理解算式表示的意义，能为正确计算铺垫基础。如笔者教学“除数是整十数的除法 口算和笔算”一课，教学例题“每20副陆战棋打一包，60副可以打几包？”时，学生面对算式60÷20等于几时，有的说等于3，有的说等于30。为什么会出现等于30的错误呢？究其原因，是受到加减法数位对齐思维的负迁移，另外对算理也不理解，6÷2=3，怎么60÷20也等于3呢？对这一抽象的数学算式，学生无法用自己已有的经验进行说明，所以让学生理解60÷20为什么等于3尤为重要。这时候，形的引入是極其必要的。

（1）唤起生活经验：如果用60根小棒表示60副陆战棋，60根小棒该怎么表示？根据已有的经验，学生把60根小棒捆为6捆，小棒每10根一捆，就明白了60就是6个十。

（2）以小棒为载体，表示出60÷20的结果。如果用6捆表示60根，你能通过画一画、圈一圈表示出60÷20等于几吗？学生以20根为一份，分成3份，在直观的小棒图中，看到6捆÷2捆=3→6个十÷2个十=3→60÷20=3。

这里，当学生有不同答案时，教师用小棒代替陆战棋，在圈一圈中，化静为动，让学生直观地看到60里面有3个20，理解算式60÷20所表示的意义。此处图形适时引入，清晰、形象地把算式的意义表示出来，在理解与说理的基础上，答案自然就水到渠成。

（3）适时想象：教师指着一捆问：“如果这一捆是一百根呢？那算式怎么表示？”引出600÷200=3，6000÷2000=3……因为有小棒图的表象支撑，学生马上明白600÷200=3就是6个百里有3个2百，6000÷2000=3就是6个千里面有3个2千。在这个过程中，因为小棒图形的介入，学生“分”“画”“想”，充分调动多种感官，用图形的方式表示出算式，获得丰富的直观感知，接着又借助形，拓展了形的意义，从一个图联想出一连串的算式，充分发挥形的作用，拓展了思路。

二、以形促思，探究计算算理

著名数学家华罗庚说：“数起源于数，量起源于量。”顾名思义，每个数都是计数单位的累积。所以，四则运算的本质就是计数单位的个数的运算，不管是整数、小数，还是分数，算理实质是一致的。如何让学生明白计算的本质即算理呢？算理是隐藏在计算法则背后的道理。计算教学应让学生在理解算理的基础上掌握计算方法，做到“知其然，然后知其所以然”。这样才能灵活应用，举一反三，从而培养学生思维的灵活性。学习“小数的加法和减法”时，面对例题2.54+1.3，学生自己尝试后，出现了三种不同的竖式：

面对三种不同的答案，教师并没有马上作出判断，而是引导学生思考：在遇到数学困难时，我们是怎样解决问题的？学生纷纷说出询问他人、独立思考、画图帮助、联系生活经验、借助数学工具等方法。接着教师出示学习单，让学生用多种方法去探索2.54+1.3的和是多少。学生经过一番思考，在交流中展示了不同的探索方法。

方法一：联系生活实际理解：

方法二：借助数学工具计数器

方法三：画百格图理解算理

通过方法一和方法二的展示、生生交流、教师引导，学生理解到生活中只有相同单位的数才能相加;小数加法中，只有相同数位的数才能相加。而百格图的介入，让学生直观地看到1.3的3表示的是3个直条，即3个0.1，5表示的是5个直条，即5个0.1;明白十分位的3只能和十分位的5相加的道理，是因为它们的计算单位相同。而4表示的是4个小方格，即4个0.01。3和4的计数单位是不一样的，不能直接相加。在三种方法中，显而易见，方法三是错误的，只有方法二是正确的。计数器和百格图的引入，使学生不仅明白小数加法时要相同数位对齐，而且明白数位对齐是为了让相同计数单位的数相加，这是隐藏在算法背后的道理。学生借助多种图形的方式，不仅找到了答案，更重要的是直观地理解了算理。在亲身经历“数形结合”的过程中，学生发现不管是用什么方法，都是为了说明一个道理：相同计数单位的数才能相加减。小数加减的本质内涵在多种形态的图形中被发掘出来，并形成“相同计数单位的数才能相加减”的本质认识。

三、以形建模，掌握计算法则

学生计算能力的提高，离不开熟练运用计算法则。小学阶段学生对计算法则的概括总结也离不开数与形的结合。从原生态的形到抽象意义的形，借助“形”承载“算”的意义和步骤，逐步建立数的运算法则、规则模型。让计算法则的概括在形与数的穿梭中逐渐建立与发展起来。计算教学中，学生是在理解算理的基础上掌握运算方法。通过道理的引领，让计算法则的建立有基础、有根基。

如在分数的乘法学习中，融入折一折、画一画的操作，图形的几何直观隐藏着计算的过程。学生经历了教材中例4与例5两次的梯度探索：①动手操作的是这张纸的几分之几？的是这张纸的几分之几？②接着直接根据乘法算式在图中画斜线表示计算结果，观察算式与图形，算法尽在图中。随着数字的变化，图形已不能满足学生计算的需要。在观察图形的基础上，学生能找出计算的法则，对“分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母”的概括水到渠成。学生在阐述计算方法的过程中有图可依，在直观的充分体验中经历了动作思维-形象思维-抽象思维的过程，而这个过程直观的表象发挥了重要的辅助作用。

×=？用一张长方形纸折一折，涂一涂，想一想，再算一算。

又如，乘法分配律历来是学生学习的难点，有的教师忽视了构建算式的结构特征，以致学生对算式的特征感知不够充分。笔者在教学中创设这样的情境：“一件上衣65元，一条裤子35元。买10套这样的衣服，一共需要多少钱？”学生审题后，教师将具体的上衣、裤子抽象成钱数，形成如下示意图：

65  65  65  65  65  65  65  65  65  65      65×10

35  35  35  35  35  35  35  35  35  35      35×10

学生在横向和纵向的观察中得出两个不同的列式，并发现：65×10+35×10=（65+35）×10，这就是乘法分配律的模型。学生在读中发现这两部分是紧密关联的。师提问：“为什么这两个算式是相等的？你能用以前所学的知识说一说理由吗？”学生借助乘法意义破解了“为什么”，对新的等式产生了初步的体验。单纯从乘法算式意义的角度解读算式是不够的，学生还要发现这类算式的结构特征，在列举的基础上，发现数字特征：都有一个共同的乘数，运用符号抽象出乘法分配律（a+b）×c=a×c+b×c.回顾学生原有的点子图知识学习经历， 如“两位数乘一位数的口算”，14×2=28可以这样口算：10×2+4×2=28。无论是哪一种方法，实质都是应用了乘法分配律。而长方形周长的计算中的两种计算方法：28×2=56（米），15×2=30（米），56+30=86（米）;（28+15）×2=86（米），也是乘法分配律的运用。让学生凭借经验中的算法验证这种变化的合理性，这样学生建立起的乘法分配律的模型是丰满而深刻的。

理解算式的意义、探究计算的算理、掌握计算的法则是计算教学中的三大环节，当然，在不同的计算课有不同的侧重点。不管在什么环节，数形结合的巧妙运用，都能起到事半功倍的作用，促使学生运算能力和抽象思维水平的提高。

参考文献：

[1]罗鸣亮.做一个讲道理的数学老师[M].上海：华东师范大学出版社，2016：46.

[2]史宁中.数学基本思想18讲[M].北京：北京师范大学出版社，2018.

[3]張奠宙.小学数学教材中的大道理——核心概念的理解与呈现[M].上海：上海教育出版社，2016：78.