透视直观本意　感悟数学思想

郑娟娟

摘 要：“几何直观”主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。通过借助几何图形，可启发学生数学思考，正确分析数量关系，找到解决问题的关键信息，提高问题解决的有效性。作者结合人教版义务教育教科书小学数学五年级下册“解决问题——分数加减法”的教学，从作图析意，助力题意解读;数形结合，助力策略探索;内化升华，助力思想感悟三个方面来阐述如何借助几何直观，探寻问题解决的教学实践。

关键词：几何直观;作图析意;数形结合;内化升华

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 收稿日期：2019-03-24 文章编号：1674-120X（2019）21-0074-02

一、引言

几何直观就是依托、利用图形进行数学思考和想象，它在本质上是一种通过图形所展开的想象能力，可以帮助学生发现、描述问题，探索解决问题的思路，理解和记忆得到的结果，正确分析数量关系，找到解决问题的策略，在整个数学学习过程中起着至关重要的作用。因此，在日常教学中，遇到比较复杂、难以用语言来描述清楚的问题时，教师不妨让学生尝试以画示意图作为突破口，在直观形象的基础上更好感知、领悟。应有这样的导向：能画示意图时尽量画，其实质是将抽象的思考对象“图形化”，尽量把问题、证明等数学过程变得直观，在直观中去解决问题。

现以五年级下册“解决问题——分数加减法”为例来进行阐述。

二、作图析意，助力题意解读

小学数学问题解决一般都以静态的文字信息的方式呈现，有时候也会以某种动态呈现的纯文字的信息出现，这样就使数学研究的对象是“看不到，摸不着”的，学生也会由于信息的繁杂而无法理清数量关系，导致无从下手。这时，可以借力几何直观的解题优势，借助画示意图来理解动态呈现的数学信息，使信息理解更加形象、更加生动，在理解的基础上深入思考，并学会自我表达与简单的题意刻画。借助几何直观的形象生动的信息呈现过程，使学生在思考、想象、猜想中梳理信息，解读和分析题意，理清解题思路，使所有的信息都交汇于示意图上，找出解题的关键——理清正确的数量关系，从而打开学生智慧的心门，为顺利解题提供方法保障。

例如，人教版五年级下册“解决问题——分数加减法”一课，教材以纯文字的形式呈现“ 一杯纯牛奶，乐乐喝了半杯后，觉得有些凉，就兑满了热水。他又喝了半杯，就出去玩了。乐乐一共喝了多少杯牛奶？多少杯水？”这部分内容新增加的问题是“喝牛奶的问题”，这一问题所涉及的分数比较抽象，常作为数学爱好者研究的智力题。学生面对这些文字时，往往无从下手，感受更多的是烦琐、无迹可寻。因此，帮助学生理解题意，是解决问题的基础，在让学生阅读理解的基础上，教师可以充分放手让他们用自己喜欢的方式进行梳理、摘录。大部分学生会采用文字描述的方法，在用文字描述方法的基础上，会感受到信息量的多且难以理解。这时再突出用示意图摘录信息的方式，在用这两种方法进行表达之后，引导学生对这两种摘录信息的方法进行对比，学生在充分对比之后会发现用文字描述比较烦琐又不易理解，而画示意图的方法不但能直观呈现问题的信息，而且有助于加深对题意的刻画，从而更易于找出解决问题的关键——第二次喝的纯牛奶是几分之几杯。但是学生由于还没学习分数乘法，无法用乘法来解决二分之一杯纯牛奶的一半是多少的问题。此时，我们要作图析意，充分借助几何直观，把靜态的数学信息鲜活地呈现在学生的面前，使学生感悟几何直观的魅力，助力学生更加形象直观地感知二分之一的一半是四分之一这一教学难点，也为后续进一步探究解题策略，提供方法上的支撑。

三、数形结合，助力策略探索

几何直观是一种重要的解题策略，它具有形象性和可感性，它能有效沟通学生的具体形象思维与枯燥学习的内容之间的联系。在数学学习中，教师要有效挖掘几何直观的科学内涵，要充分发挥这种解题策略在数学探究中的作用，化静态的学科知识为动态化，有效地突破学生的固有的思维。通过几何直观画出示意图，可以让学生感受学习内容的直观化、形象化。因此，在教学中，要充分引导学生采用画图的方法，助力解题策略的探索，在“数形结合”中凸显问题解决的本质，从而突破教学难点，以形解数。

例如，在本课中，当学生们已经明确要解决乐乐一共喝了多少杯牛奶、多少杯水，解决问题的关键是要让学生找出第二次喝纯牛奶是几分之几杯。于是，我充分放手让学生先独立探索，学生在探究后展示时有很多种方法。有的学生用文字描述的方法：乐乐喝了半杯牛奶，兑满了热水，这时候杯子里有半杯牛奶、半杯热水，又喝了半杯，这半杯里，一半是纯牛奶，一半是水。所以乐乐第二次喝了半杯中一半的牛奶、一半的水。学生听后眉头紧锁，有的若有所思。我又请一位学生来补充回答：“乐乐喝的一杯中，有半杯牛奶、半杯热水，又喝了半杯，这半杯中一半是纯牛奶，另外一半是水。所以乐乐第二次喝了四分之一杯的牛奶、四分之一杯的水。”在第二位学生回答后，我适时追问：“老师听懂了，你们听懂了吗？”有一小部分的学生点点头，大部分的学生都在沉默着，沉默的原因是过于抽象，学生们无法理解半杯中的一半是四分之一。这用言语来解释过于苍白，学生无法理解透彻。我趁机追问是否还有其他方法。有几位学生在沉默之后举起了手，我请他们来介绍做法，并适时展示两位学生所画的示意图（如下图）。

从学生所呈现的示意图中，我们不难发现，由于有了示意图的直观呈现，学生能够更加直观地感知四分之一杯的牛奶在哪里，在数学上又该如何表示，使文字枯燥的呈现变得形象、多元。正是有了合理的数形结合，学生一下子明白了图形中的四分之一杯牛奶的含义，不用乘法也可以直观理解“一半的一半”就是四分之一。几何直观达到了“只可意会，不可言传”的教学效果，使难懂的数学变得可感，变得形象、具体，活生生地呈现学生的思维过程，帮助学生理清思绪，丰富学生的解题策略，有效培养学生的数学思维。我又适时地激发学生去思考如何更简洁地表示，有的学生用线段图的雏形图表示，有的把示意图化图为线……学生在不断思考、碰撞的过程中突出了几何直观的作用，又彰显了示意图的优势，在数形结合中，找到了解决问题的最佳策略。

四、内化升华，助力思想感悟

数学学习的归宿点不仅是让学生学会解决问题，发现问题解决的方法（画示意图），更重要的是要进一步挖掘数学教学中所蕴含的数学思想方法，发展学生的解题策略，使学生在梳理内化的过程中，感悟数学教学的魅力，渗透数学思想方法。

例如，在学生借助画图策略找到解决问题的答案后，我并没有就此打住，而是适时追问学生们还有没有其他的办法，能不能换个角度思考。学生们经历了强烈的头脑风暴。过了一会儿一个学生站起来说：“我们可以把注意力集中在纯牛奶上，第一次喝了半杯牛奶，现在杯子里只剩半杯是純牛奶，第二次又喝了这半杯纯牛奶中的一半，也就是四分之一杯牛奶。再把注意力集中在水上，加了半杯水，也是喝了这半杯水的一半，所以第二次喝的水和牛奶都是四分之一杯。”在这位学生的启发下，另外一位学生站起来说：“牛奶我们只要看喝的，第一次喝了半杯后，杯子中只剩下半杯，第二次喝了半杯中的一半，不就是四分之一杯吗？水只要看加的，加了半杯水，喝了这半杯的一半也就是四分之一杯水，所以第二次喝的是四分之一杯的水和四分之一杯的牛奶。”这一环节促进了学生对数学方法的掌握。学生不仅感悟数形结合思想、变中不变的思想，还学会用换角度思考的方法来解决问题。

在回顾反思的过程中，我让学生们用自己喜欢的方法检验，有的学生用画图法，有的学生用换角度思考法，有的用倒推法等进行检验反思。

在这一系列的探究活动中，学生不仅获得了解决问题的策略，更重要的是把数学思维推向深刻。这样的学习过程一方面突出了解题策略的多样化，另一方面彰显了几何直观在解决问题中的作用，深化学生对数学的理解，内化并提升学生的数学思维。

五、结语

透过一节课的数学探究，我们不难发现几何直观在数学学习上的作用，它沟通了数学与思维的联系，通过形象直观的思维呈现过程，整体把握学生对数学知识的理解，借助数形结合这一桥梁，有利于培养和发展学生的数学思维。因此，在数学教学中，教师要紧紧抓住数学思维的培养这一核心，有效挖掘数学内涵，适时渗透数学思想，合理把握学生的思维动向，培养学生的创造性思维。

参考文献：

[1]林碧珍.成果展示：构建富有数学思想的课堂[J].福建教育，2017（49）：30-32.

[2]徐国裕.小学数学教材研读与教学[M].福州：福建教育出版社，2015.

[3]何红亚.发挥几何直观在数学理解中的作用——以四年级下册《用画图的策略解决相遇问题》为例[J].教育研究与评论（小学教育教学），2012（8）：29-30.

[4]蒋 丹.“重审题，理题意”之小学数学审题能力培养漫谈[J].学苑教育，2014（20）：66.

[5]张艳红.数形结合思想在小学数学教学中的应用[D].济南：山东师范大学，2016.

[6]吴增生.数学思想方法及其教学策略初探[J].数学教育学报，2014，23（3）：11-15.