数形结合在物理解题中的应用

余水斌

摘   要：数形结合的核心素养是将数与形进行有机结合，本文阐述在物理解题中巧妙地把数转变成形，或把形转变成数，使抽象的实际的物理问题变得简单明了。

关键词：核心素养;数形结合;解题

引言

近年来高考题目中数对形结合的题型考查所占分数的比重越来越大，高考中借助数学知识来解决物理问题越来越受到命题者的重视。高中物理新课标中也明确要求，物理教学的核心素养是要求学生能用多种方法分析，解决物理问题，包括利用物理规律构建物理模型，利用数形结合来构建物理模型等。物理问题的分析在一定程度上是利用数学知识和方法来展开的，而数形结合能更好地解决物理的抽象问题和实际的问题。这类题目的难点和要点主要集中在对数形结合的理解上。为了更好的认识数形结合在物理教学中的应用，将从以下几个方面来阐述我的观点。

1  数形结合思维的核心素养

数形结合是一种科学思维方式，物理教学中体现在将数学的语言与物理图形有机地结合在一起，即抽象的物理概念与具体的物理事实合理结合的体现。它能够清晰的反应物理过程，能客观地实事求是反应物理实验规律，方便学生归纳得出结论。还能简洁、形象、明了、直观地呈现两个甚至多个物理量之间的联系。因此，利用数形结合的思维的方式，来分析物理问题的方法有着巧妙的应用。我们可以运用数形结合中的图形直接分析和解题。一些对物理过程进行运动性质及情景分析的问题，如判断物体运动的状态、过程是否做匀变速直线运动，电阻一定时电阻两端的电压和电流是否成正比，在分析两个运动物体的追及与相遇类问题时等等，这些问题常常可运用图象直接解答，使问题变得简单又明了。如果能够用物理图象描述，一般说来总是有直观、容易理解的特征，能在高考中提高解题的正确率，又能节省出宝贵的时间来解答和思考其他问题。物理学科是一门自然学科，物理知识来源于生活中的提练，还再融合了其它学科的知识，比如数学知识，通过物理的表达与数学知识有机结合，反映出图与形之间的内在联系，特别是图形之间的内在联系。基于此，我们平时在物理教学中或在物理问题的解答中应多渗透数形结合思想的思维方法。

2  物理解题中的数形结合的应用

数形结合是数学中的一种重要方法，物理离不开数学的帮助。实际问题的解决过程可分为两类情况：一是通过数的精确表达式来显化形的某些规律性，二是通过形的几何性质，反映出数学函数的特点。

2.1  数形结合中由数转变成形的应用

2.1.1  数形结合中的形主要是指图形，它包括几何图形、函数图形、实物图形等。

物理的学习更离不开图形，物理教学中借助图形直观描述物理过程、形象地反映物理规律、表示物理量间关系及变化特点。因此我们要弄清图线的形状是直线还是曲线、截距、斜率、交点、面积所代表的物理意义。如在研究匀变速直线运动中的速度和时间的关系时，用公式vt=vo+at来描述的话比较复杂，但转化成图形来分析就更易理解了，采用数形结合，用换元法，令vt换成y，t换成x，变成了y=b+kx，这在数学中是一个非常简单的一次函数，则从图象中可以得出截距、斜率、面积，它们分别代表初速度、加速度和位移的大小，简单直观明了。

在求解一些多过程物理问题时，由于题目中已知各个物理量之间的相互关系比较复杂，且经过多个过程，想要完成求解必须要根据多个物理规律用到多个的物理公式，列方程组，并要解方程组才能得出结论，由此给学生增加了解题的难度和求解所需时间。因此，在分析求解这些问题时，我们可以试着换一种思路，用数形结合的方法来分析，用数学的函数图象来表达题意，再用数学有关知识结合物理规律求解得出结论，这样会使原本复杂的物理问题得到了大大的简化，从而很大程度提升了问题的求解效率并且节省了宝贵的时间。

例如一个人乘电梯上升加速用了3s，匀速用了9s，最后减速用了2s，总共上升了23m，问电梯匀速的速度是多少？

本题题目短，看起来简单，实际上不简单。题中物体经过分为三个过程，如果用普通的方法解，得用数学中的方程组来解，但繁杂。

如果采用数形结合的方法那要简单的多。把题目中的过程用v-t图象描述出来，如图1所示，再根据v-t图象中曲线和t轴v轴所围成的面积的大小等于物体通过的位移大小，设物体匀速运动的速度大小为v，则通过图象求面积s=，代入数据马上得出v=2m/s。

2.1.2  利用数形结合中的形来审题

物理解题是否成功，正确的审题是关键，错审、漏审、或答非所问，都会造成解题的失误，这些都是高中学生经常出现的错误，也是高考丢分较严重的地方，因此掌握合理的正确的审题是非常有意义的。正确有效的审题方法往往能给学生产生巧妙又简单明了的解题思路，审题方法多种多样，其中数形结合是物理审题中最有效、最合理、最常见的思想方法之一，所以审题时我们首先要考虑是数形结合的方法。而物理学中题目所描述物理过程，物理规律，物理数据往往是用数学语言来表述的，而大多数题目是没有给图形的，它们既复杂又抽象.因此物理问题的求解过程主要是过程分析和情景的理解，而较常用的就是列式，甚至列方程组求解，所以常利用数形结合的方法来审题，实现思路的融会贯通，达到数与形的结合，达到解决问題的目的。

2.1.3  利用數形结合中的形来描述物体的动态平移问题

动态矢量图是一种将复杂的物理过程问题转化为几何问题，利用图解的几何知识来解题的思想方法，即通过矢量运算，结合矢量的平行四边形定则确定线段的大小、矢量的方向、角度的大小等几何量可以直接反映所研究物理量的大小或变化过程，非常直观明了，学生也更容易理解和掌握，同时也可以开拓学生的解题思路。

如图2所示，固定三角形上放着一个小球，被一竖直挡板挡住处于静止状态，现使挡板由竖直缓慢转向水平方向且保持小球静止状态，求在这个过程中小球对斜面和挡板的压力变化情况如何？

分析：这是个动态平衡问题，如直接按常规的方法，利用物理规律来解将非常的复杂，甚至解不出来。但如利用数形结合的思想，把一个物理问题转化为图形问题将会使问题变的简单化。如图3所示，N1表示擋板对小球的压力，N2表示斜面对小球的压力，G表示小球受到的重力。先对小球 受力分析画出小球所受的原始力，作出原始的平行四边形，再结合本题的特点，“缓慢平移”可视为动态平衡，其中重力G的大小和方向都不变，图中的对角线长度表示重力的大小，斜面的弹力N2 的方向不变， 因此作图时让对角线不动，作出几个平行四边形，利用几何线段的长短变化来判断各个力的变化趋势，最终由图可知N2的线段逐渐变短，则代表小球对斜面的压力N2逐渐变小，挡板对小球的压力N1的线段先变短后变长，则代表小球对挡板的压力N1先变小后变大。

2.2  数形结合中由形转变成数的应用

在物理题目中往往是针对物体的运动状态或变化规律而给设定的图形，仅按照题目所给定的图形已知的信息是很难解决问题的，要解这类问题除了对给定的图形进行详细的分析外，还要弄清楚图象的含义，代表什么物理量，及图象的斜率面积各代表什么含义，后利用物理规律，概念或公式写出原始表达式，再结合图象把原始表达式整成纵轴关于横轴的函数表达式，将其进行转换，再根据数学的正比例函数，一次函数，双曲线函数，或抛物线等的特点，结合图象中的数据如截距，斜率，面积等来解题，随后再将直观的图形问题的有关信息和规律转化为函数方程形式或代数形式问题，有效地把已知量和未知量建立起相互关系，呈现出明显的物理变化规律，最终可以完成问题的解答。如图4所示，图线A和B分别表示A，B两物体做匀速圆周运动时的向心加速度a随半径r变化的关系，从A、B两物体做匀速圆周运动时的向心加速度随半径变化的关系图线中是否可以看出，随着半径r的增加，是线速度v保持不变，还是角速度w的大小保持不变。分析本题只凭图象很难作出正确的选择，但利用数形结合中的形转变成数的思想就很好理解了。通过对图象的观察，发现A、B两物体的图线分别表示正比例函数和双曲线函数，而纵轴是a，横轴是r，结合本题的圆周运动的知识，利用向心力的公式a=w2r和a=v2/r，再利用换元法把a换成y，把r换成x，可得B图为正比例函数，判定w为定值是不变的，A 图线为双曲线，判定v为定值是不变的。数形结合使问题简化了。

3  近来高考中物理解题中的数形结合的展望

刚结束的2018普通高等学校招生全国统一考试理科综合物理试题中共13题，其中就有9个题目需要用到数形结合的思想来解决的，有些题目本身并没有给图形，但为了更好的审题理解题意，需要借助图形来理解，边审题边画草图边把题目中的已知量标在图中。大多数物理题目的解法都类似，往往都是先用物理规律或物理公式列出相关表达式，再用数学的换元法把它换元成数学的函数形式，再根据相关物理量的取值范围，利用函数图像或函数单调性的知识，如图象的交点，斜率，面积，截距等求出相关值。但有时变量个数有两个而且不完全独立，这时就须再找另外的物理规律列方程，利用数学规律来解方程组。

4  结束语

总之，应用数形结合的思想解决物理问题，往往能将复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而更加快捷寻求最佳解题思路和方法[ 1 ]。而物理题目往往文字多，内容广，过程复杂，而又没有给图，让学生感到一团麻，这就需要考生从复杂的题目中提练出有用的信息，借助数形结合中的图形来审题，将会使得学生审题效率及正确率大大地提高。在具体应用中，教师需要进行全面归纳和总结，引导学生掌握数形结合思想在解题中的应用，实现数与形的有机结合，实现对物理概念和规律与数学知识的结合，实现互补，拓宽学生的思路，对物理问题的解决发挥指导性的作用。同时，教师应在教学过程中渗透数形结合思想方法[ 2 ]，使学生养成数形结合的应用习惯，这样有助于学生高效的学习物理。

参考文献：

[1]丛杰.对加强中学数学思想方法教学的思考与实践[J].徐特立研究，1997（3）：20.

[2]周玟秋.浅谈高中物理解题与数形结合思想[J].新校园（中旬），2016（8）：30.