浅析带电粒子在有界磁场中运动的时间极值问题

饶华东

摘   要：带电粒子在三角形有界磁场中的运动常涉及最长（最短）运动时间的求解，这类问题难度较大，学生错误率高，特别是何时运动时间最短，很难确定。本文根据带电粒子在磁场中的运动规律结合数学知识分析，提出了“半径比较法”“弦切角比较法”“切线长比较法”三种判断方法，可以快速确定粒子运动时间何时取到最小值。

关键词：带电粒子;三角形有界磁场;运动时间;极值

带电粒子在有界磁场中的运动，通常不能做完整的圆周运动，解决此类问题必须借助空间想象思维、综合数学知识，尤其是平面几何中圆的有关知识[ 1 ]。有界磁场包括圆形磁场、矩形磁场、三角形磁场等类型，而粒子在有界磁场中运动的极值问题包括时间极值、速度极值、角度极值等，本文着重阐述带电粒子在三角形有界磁场中运动的时间极值问题。

1  半径比较法

【例题1】如图3（a）所示，直角三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，在BC中点D处有一粒子源，可沿与AC平行的方向发射不同速率的同种粒子，粒子带正电，电荷量为q，质量为m，已知这些粒子都从AC边离开ABC区域，AC=3l，AB=4l，BC=5l，∠ABC=37°，忽略粒子的重力及粒子间的相互作用，则这些粒子（       ）

2  弦切角比较法

根据数学知识可知，过一点作圆的两条切线，两弦切角相等。

三角形ABC区域内存有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，在BC上的D处有一粒子源，可垂直AB向磁场内发射不同速率的同种粒子，粒子带正电，电荷量为q，质量为m，已知这些粒子都从AC边离开磁场，忽略粒子的重力及粒子间的相互作用。

如图4（a）所示，若粒子速度最大时，轨迹与BC恰好相切于C点，从C点射出磁场，作初速度的延长线交BC与E，根据数学知识有∠ECD=∠EDC。反之，若∠ECD=∠EDC，说明轨迹与BC的切点恰好为C，此时运动时间最短。

如图4（b）所示，若粒子速度最大时，轨迹与BC相切于F点（F点位于BC之间），从H点射出磁场。根据数学知识有∠EFD=∠EDF，显然此时∠ECD<∠EDC。反之，若∠ECD<∠EFD，说明轨迹与BC的切点F应位于BC之间，粒子轨迹不可能经过C点，从H点射出时运动时间最短。

如图4（c）所示，若粒子速度最大时，轨迹与BC“相切”于F点（F点位于BC延长线上，且在C点外侧），根据数学知识有∠EFD=∠EDF，∠ECD>∠EDC。反之，若∠ECD>∠EDC，说明轨迹与BC的“切点”F应该位于BC延长线上，且在C点外侧，当粒子速度继续增大，有可能从C点射出，从C点射出时运动时间最短。

综上分析，∠ECD≥∠EDC时，粒子从C点射出时运动时间最短，∠ECD<∠EDC时，粒子无法运动到C点，轨迹与BC相切时运动时间最短。

【例题2】如图5（a）所示，直角三角形ABC区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，在BC上的点D处有一粒子源，可沿与AC平行的方向发射不同速率的同种粒子，粒子带正电，电荷量为q，质量为m， AC=3l，AB=4l，BC=5l，AD=3l，∠ABC=37°，忽略粒子的重力及粒子间的相互作用，则这些粒子（     ）。

3  切线长比较法

根据数学知识可知，过一点作圆的两条切线，该点到两切点的距离（本文将该距离称作“切线长”）相等。

三角形ABC区域内存有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，在BC上的D处有一粒子源，可垂直AB向磁场内发射不同速率的同种粒子，粒子带正电，电荷量为q，质量为m，已知这些粒子都从AC边离开磁场，忽略粒子的重力及粒子间的相互作用。

如图4（a）所示，若粒子速度最大时，轨迹与BC恰好相切于C点，從C点射出磁场，作初速度的延长线交BC与E，根据数学知识有EC=ED。反之，若EC=ED，说明轨迹与BC的切点恰好为C，此时运动时间最短。

如图4（b）所示，若粒子速度最大时，轨迹与BC相切于F点（F点位于BC之间），从H点射出磁场。根据数学知识有EF=ED，ED

如图4（c）所示，若粒子速度最大时，轨迹与BC“相切”于F点（F点位于BC延长线上，且在C点外侧），根据数学知识有EF=ED，ED>EC。反之，若ED>EC，轨迹与BC的“切点”F应该位于BC延长线上，且在C点外侧，当粒子速度继续增大，有可能从C点射出，从C点射出时运动时间最短。

综上分析，ED≥EC时，粒子从C点射出时运动时间最短，ED

参考文献：

[1]李享文.带电粒子在有界磁场中运动的极值[J].甘肃教育，2008（19）：58.