动中取静，巧妙破解
——以2019年浙江卷第21题为例

江苏省宿迁中学 徐士权

圆锥曲线中，涉及三角形面积的最值问题非常常见，有时单独确定三角形面积的最值，有时通过两个三角形面积的代数关系式的综合来确定最值，变化多端，一直是高考数学的常见题型之一，是备受命题者、教师与学生关注的焦点问题之一，难度一般中等偏上及较难.此类涉及三角形面积的最值问题，往往通过点、直线、曲线的位置关系的变换来构造相应的单个或多个三角形，利用点在圆锥曲线上的移动，充分体现了解析几何中动与静的完美统一，是数学知识的有机融合与交汇.

一、真题在线

【高考真题】（2019年浙江卷21）如图1，已知F（1，0）为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点.过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且点Q在点F的右侧.记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2.

图1

（Ⅰ）求p的值及抛物线的准线方程；

本题是一个多动点问题，关键在于找到点与点、点与直线之间的关系，通过一个点的坐标去表示其他点与直线，从而找到这些点的关系，通过三角形面积公式的转化与合理运算，利用基本不等式的应用来达到破解的目的.此问题切入点较多，通过三角形面积的变换，往往运算量比较大，容易导致错误，因此运算时要加以合理变换，可先进行有效换元处理，降低次数，再通过相应的函数、不等式等思维来确定对应的最值问题.

二、一题多解

（Ⅱ）方法1：（官方答案——设点法）

设A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），重心G（xG，yG）.

令yA=2t，t≠0，则xA=t2，由于直线AB过焦点F，故直线AB的方程为代入y2=4x，得故2tyB=-4，即所以又由于及重心G在x轴上，故0，得所以直线AC的方程为y-2t=2t（x-t2），得Q（t2-1，0）.

由于点Q在焦点F的右侧，所以t2＞2，从而令m=t2-2，则m＞0，，当且仅当时，取得最小值此时G（2，0）.

点评：通过设点法处理，过程看似简单，其实当中求解对应的点的坐标、化简三角形面积的比值等过程时，都进行了大量的运算与变形，计算量较大，并且烦琐.而当中合理的换元变换，有效降低了次数，为正确利用基本不等式求解最值提供了条件.

方法2：（官方答案改进——焦点弦性质法）

设A（t2，2t），t≠0，根据焦点弦性质可得结合yC）及重心G在x轴上，故可得由三点A，Q，C共线，可得，解得Q（t2-1，0）.

由于Q在焦点F的右侧，所以t2＞2，从而令m=t2-2，则m＞0，当且仅当时，取得最小值此时G（2，0）.

点评：通过设点法处理，在原来方法1的条件中，直接利用焦点弦性质来确定对应的坐标，省去求解相应的直线方程的过程.

方法3：（设点法）

设直线AB的方程为x=my+1（m＞0，否则不符合题意），联立消去参数x，整理可得y2-4my-4=0，解得，且y1+y2=4m，y1y2=-4.所以y3=-4m.由于点Q在焦点F的右侧，故，可得，故，当且仅当3m2=m2+1，即亦即时等号成立，当时，取得最小值，此时G（2，0）.

点评：通过设点法与直线AB的方程x=my+1的处理，双管齐下，利用点的关系把相应的点的坐标都表示为m的关系式，结合三角形面积的关系式的转化，以及含有m的关系式的恒等变换，再巧妙利用基本不等式来处理.

三、规律总结

涉及三角形面积的最值问题一般背景直观生动，知识内容丰富，综合性比较强，充分将相关的点、直线、曲线等知识有效地融为一体，要求有较强的综合能力与应变能力，充分考查能力与素养，强化学生的运算技巧，培养学生的核心素养.破解问题时，无论是设置直线方程求解，还是设置点的坐标求解，其关键是正确来表示出相应的三角形的面积，再结合对应参数的关系式合理运算与转化，巧妙利用基本不等式、导数等方法来求解对应的最值问题.F