高考数学三角函数、立体几何部分问题分析研究

江苏省如东县马塘中学 江雪梅

三角函数和立体几何部分是高中数学知识的重要组成部分，堪称高中数学的两大巨头，更是高考数学试题的热门考点，它们占据了大量的试题分值，是当之无愧的两大巨头.研究这两部分知识在高考数学试卷中的题目分布、出题类型，总结高考数学这两部分考题的解题注意事项，对于提高学生的数学考试成绩和今后数学学习的针对性具有重要的意义.

一、2018年高考数学三角函数部分问题分析

1.三角函数部分考题概述

三角函数部分是高中数学教学的重点，也是难点，高考对三角函数部分知识的考查主要涵盖诱导公式、同角三角函数关系、两角和及二倍角的三角函数、三角函数的应用、三角函数的图像及性质等.在2018年江苏省高考数学试题中，单独考查三角函数计算的问题仅有16题一题，其他关于三角函数的问题均是与其他知识点相结合，考查学生应用三角函数去解题的能力.

2.三角函数部分问题分析

三角函数的部分是很多学生学习的难点，在解答高考中三角函数问题时，要灵活应用三角函数的相关知识，对三角函数题目进行灵活转化，将不常见的三角函数问题，转变成常见的三角函数问题.

例1 （2018年江苏省高考数学16题）已知α和β均为锐角

（1）求cos2α的值；

（2）求tan（α-β）的值.

问题解析：（1）在求cos2α的值时，首先要根据同角三角函数的关系对原三角函数进行变形，从而求出cos2α，然后再利用二倍角的余弦公式求出结果.因为，进而得出，又因为sin2α+cos2α=1，进而得出

（2）利用二倍角正切公式求出tan2α，再利用两角差正切公式求出tan（α-β）的值.已知α和β均为锐角，可以得知α+β的取值范围为（0，π），又因为所以所以tan（α+β）=-所以tan（α-β）=tan［2α-（α+β）］=

例2 （2018年江苏省高考数学17题）图1所示的是一块农田，它的边界是由圆O的一段圆弧MPN（P为圆弧的中点）和MN构成，其中圆O的半径为40米，P到MN的距离为50米，现在要在农田上建立两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为三角形DCP，要求A、B均在线段MN上，C、D均在圆弧上，OC与MN所成夹角为θ.

图1

图2

（1）用θ分别表示出矩形ABCD和三角形DCP的面积，并确定出sinθ的取值范围.

（2）如果在大棚Ⅰ中种植甲种蔬菜，在大棚Ⅱ中种植乙种蔬菜，甲、乙两种蔬菜的单位面积产值之比为4∶3，求θ取什么值，能够使得甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.

问题解析：这道题主要是考查学生三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，同时考查学生利用所学数学知识解决实际问题的能力.在本道题的第一问中，首先要根据给定的已知条件来求出矩形的长和宽、三角形的底和高，然后根据矩形面积公式和三角形面积公式列出相关的关系式，最后结合生活实际，限定sinθ的取值范围.具体过程如下：

（1）连接PO，使其延长线交MN于点H，则PH⊥MN，OH=10.过O点作OE⊥BC交BC于点E，那么OE∥MN，则∠COE=θ，OE=40cosθ，EC=40sinθ，那么矩形ABCD的面积=2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），三角形CDP的面积sinθcosθ）.过点N作GN垂直MN，交圆弧于点G，交OE的延长线于点K，那么GK=KN=10，令∠GOK=θ0，那么sinθ0=当才能够满足条件中矩形ABCD的要求，sinθ的取值范围为

（2）根据已知条件甲、乙两种蔬菜的单位面积产值之比为4 ∶3，设甲单位面积年产值为4k，乙单位面积年产值为3k，那么甲、乙两种蔬菜年总产值为4k×800·（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ-sinθcosθ）=8000k·，设f（θ）=sinθcosθ+cosθ，θ∈，那么f ′（θ）=cos2θ·sin2θ·sinθ=-（2sin2θ+sinθ-1）=-（2sinθ-1）·（sinθ+1）.令f ′（θ）=0，则，当θ∈时，f ′（θ）＞0，f（θ）是增函数；当时，f′（θ）＜0，f（θ）是减函数.当时，f（θ）取最大值，因此，当时，能够使得甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.

3.三角函数部分问题小结

对于高考数学中三角函数类问题，考生需要认真审题，明白题目要考查的主要内容，不要盲目的分析.要灵活运用三角函数的性质和图像，对需要变形的函数进行转换，对那些不需要转换的三角函数问题，在解题的时候要有依据，可以应用导数、数形结合等思想方法，切不可想当然.

二、2018年高考数学立体几何部分问题分析

1.立体几何部分考题概述

立体几何问题是高考数学的热门考点，它几乎涉及了高考数学的所有题型，是每年高考数学的必考内容，也是学生必须要拿下的题型.从2018年江苏省高考数学试卷来看，立体几何部分的题目主要有第10题、第15题、第22题，占据分值为29分，可谓是具有举足轻重的地位.从对学生知识的考查来看，主要涉及对几何体的理解、对不同几何体隐含条件的理解与应用、直线与直线、直线与平面及平面与平面的位置关系、空间向量、异面直线所成角和线面角等知识.

2.立体几何部分问题分析

对于立体几何部分问题，学生具有较强的空间想象能力是解题的基础，要能够准确地把握目标图形的特点，寻找图形中的隐含条件，结合其他的数学知识完成解答.

图3

例3 （2018年江苏省高考数学10题）如图3所示，正方体的棱长为2，那么以所有面中点为顶点的多面体的体积是多少？

问题解析：解决这一问题的关键是能够准确把握题目中几何体的结构特征，对于那些不规则立体几何图形，能够利用割补法将它们转变为具备计算公式的几何图形，最终完成求解.该题中的几何图形就可以看成是两个全等的正四棱锥组成的几何体，先求出其中一个正四棱锥的体积，然后就知道这个多面体的体积，从而可以顺利完成求解.

3.立体几何部分问题小结

立体几何部分的问题相对较为简单，是学生必须要拿分的问题.在解决这类问题的时候，要充分利用立体几何的性质、概念、定义去寻找解题的思路和方法.当涉及空间向量的问题时，要先把几何问题转化为向量问题，通过向量运算后，再将向量问题转化为几何问题，以此完成求解.对于涉及空间直角坐标系的问题，首先要建立空间直角坐标系，列出各点的坐标，然后借助向量坐标和向量的相关知识来完成求解.