直击高考真题，掌握函数零点

江苏省宿迁中学 李志中

函数零点是函数与方程部分的重要内容之一，涉及众多的数学思想方法，是高考中的热点与重点内容之一.函数零点不仅是高中数学思想方法的重要体现，而且有效体现了动静结合的辩证思维.结合近年来高考对函数零点的考查情况分析，函数零点不再以简单的形式来考查，往往以复杂的形式（分段函数、抽象函数、超越函数和交汇知识等）为载体，综合函数的相关概念与基本性质，通过零点个数确定、参数求值、参数的取值范围、综合问题及开放性问题等形式出现.

一、零点个数的确定

对于函数零点个数的确定问题，往往把对应的函数转化为方程，利用方程的情况来确定零点个数；或把对应的函数借助方程转化为两个基本初等函数，结合函数图像的交点情况来确定零点个数.

例1 （2019年全国卷Ⅲ文5）函数f（x）=2sinx-sin2x在［0，2π］上的零点个数为（ ）.

A.2 B.3 C.4 D.5

分析：通过三角函数关系式的恒等变形与转化，进行因式分解，结合方程的求解以及条件的应用来确定方程的根的情况，从而得以确定零点个数.

解：因为f（x）=2sinx-sin2x=2sinx-2sinxcosx=2sinx（1-cosx）.

令f（x）=0，得sinx=0或1-cosx=0，即sinx=0或cosx=1.

因为x∈［0，2π］，所有符合f（x）=0的x=0，π，2π，即函数的零点有3个.

故选择答案：B.

点评：判断函数零点个数的常见方法有：（1）解方程法；（2）零点存在性定理法；（3）数形结合法.借助方程的根、函数的性质或函数的图像等来合理转化，从而得以确定函数的零点个数问题.

二、参数取值的求解

涉及由函数的零点个数来确定相关参数的取值范围问题，往往结合相应已知函数的图像，通过零点个数利用数形结合来确定参数的取值范围.

例2 （2019年江苏卷14）设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f（x）是奇函数.当x∈（0，2］时，f（x）=其中k＞0.若在区间（0，9］上，关于x的方程f（x）=g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是______.

分析：结合题目条件加以合理的转化，通过分类讨论，结合圆的方程与直线的方程所对应的图形加以数形结合，进而得以确定参数的取值范围.

图1

点评：涉及函数有零点或方程有实根条件下相关参数的取值问题，破解的常见策略主要有：（1）直接处理法；（2）分离参数法；（3）数形结合法.合理转化，利用函数有零点或方程有实根的条件加以等价转化，借助相关的技巧策略来破解.

三、综合问题的应用

对于函数零点的综合应用问题，往往与集合、函数、不等式、数列、三角函数、导数等相关知识加以综合，结合相关的知识加以综合应用，达到知识交汇、能力拓展的目的.

例3 （2018年江苏卷11）若函数f（x）=2x3-ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在［-1，1］上的最大值与最小值的和为______.

分析：结合条件进行分离参数，通过均值不等式的应用确定函数f（x）在（0，+∞）内有且只有一个零点时参数a的值，在此条件下确定函数f（x）在给定区间上的最大值与最小值，从而得以确定其和.

解：由题可知方程f（x）=2x3-ax2+1=0（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个解，即在（0，+∞）内有且只有一个解.

所以函数f（x）在（0，+∞）内有且只有一个零点时，a=3，此时f（x）=2x3-3x2+1，则有f′（x）=6x2-6x，令f′（x）=0，解得x=0或x=1，

列表如下：

从上表可知，在［-1，1］上，f（x）max=f（0）=1，f（x）min=f（-1）=-4.

所以f（x）在［-1，1］上的最大值与最小值的和为f（x）max+f（x）min=1-4=-3.

故填答案：-3.

点评：本题还可以借助分类讨论法、函数图像法等思维方法来处理.借助分离参数法，可以很快确定参数的值，并借助此时所确定的函数来求解其最值问题，简单易操作.涉及零点的综合应用问题，关键是要进行合理转化，采取合适的方法来破解.

四、开放性问题的处理

函数零点问题也是处理一些函数开放性问题的理想场所，其有效交汇分段函数、周期函数、抽象函数等问题，可以用来确定参数的取值情况、零点个数的讨论、函数的相关性质等开放性问题.

例4 （2019年浙江卷9）已知a，b∈R，函数f（x）=若函数y=f（x）-ax-b恰有三个零点，则（ ）.

A.a＜-1，b＜0 B.a＜-1，b＞0

C.a＞-1，b＜0 D.a＞-1，b＞0

分析：把函数恰有三个零点问题结合分段函数进行分类讨论，结合不同条件下函数零点的个数加以有机取舍，从而得以分类讨论，利用排除法来解决.

解：函数y=f（x）-ax-b恰有三个零点，等价于y=f（x）与y=ax+b的图像有三个交点，当x≥0时，由f（x）=可得f ′（x）=x2-（a+1）x+a=（x-a）（x-1），而f（0）=0，f′（0）=a，则当a≤-1时，y=f（x）与y=ax+b的图像不可能有三个交点，排除选项A，B；

故选择答案：C.

点评：破解此类函数的零点的开放性问题的常规思维方式是：（1）将函数的零点个数转化为两个函数图像的交点个数问题，利用数形结合思维来处理；（2）直接利用原函数的图像及零点的存在定理来处理.

其实，要注意函数零点、方程的根、不等式的解集这三者之间的关系，合理有效的相互转化是破解此类问题的关键，同时经常加以数形结合，结合函数的图像加以直观解决.涉及函数零点的问题还经常与导数问题加以交汇，在一些解答题中出现，以证明零点个数、确定参数的取值范围等形式出现，也要引起高度重视.W