利用“尝试错误”促进学生数学思维品质发展的实践研究

江苏省海州高级中学 陶 飞

思维这一认知的核心成份其实是人脑概括事物本质及其中规律性关系的反映，培养学生的数学思维品质有助于学生数学能力的突破和发展.学生在新知识的学习、应用等方面都会产生一定的“尝试错误”，教师应抓住机会并借助教材的内涵与本质以促进学生数学思维品质的养成和发展.

一、利用“尝试错误”促进学生深刻思维

学生只有具备一定的思维抽象程度、逻辑水平、思维深度才能对问题展开全面的思考并学会追根究底，教师应帮助学生学会挖掘知识的本质并促进学生进行深刻思维，借助学生的错解使其思维达到一定的深刻程度.

两种解法所得的结论不相同，这又是什么原因呢？学生的思维因为答案的不同而活跃起来.教师此时可以引导学生对两种解法中所运用的运算法则进行思考，启发他们发现运算法则运用时应该满足的条件，当a＞0时，有（am）n=amn；而当a＜0或a是虚数时，乱用法则就会使错解产生，因此，解法2显然是对的.

二、利用“尝试错误”促进学生灵活思维

学生能够根据客观事物的发展和变化及时调整思路并做出一定的改变，能使其获得新的解题方法，这是学生具备灵活性思维的具体体现.学生经常会因为数学概念、法则、公式等理解的不够而产生解题错误，教师应根据学生在判断、推理论证、解题上的错误进行针对性的思维训练，使学生能够在具体问题中进行灵活思维并及时调整思路，继而正确解题.

这是笔者在刚刚教完均值定理之后举出的一个例子，考虑到了学生的习惯性思维并板书出了以下所示的错解：

板书错解之后，笔者并未将正确答案公布出来，而是对学生进行了引导、启发与讨论，使其发现不等式x+成立的条件应为x＞0，但题中函数的定义域明显是{x｜x≠0}，因此以上解题方法明显是不对的.笔者在学生思考至此，又引导学生在此题的求解中是否可以运用均值定理进行了思考.很快有学生领会到了应分x＞0、x＜0这两种情况并运用均值定理来求解.

笔者又启发学生进行了新解法的探寻，这是有意引导学生改变解题思路并促进其灵活思维的启发，学生在点拨下很快想出了利用判别式求解函数值域的解法：

因为Δ=（-y）2-4×4=y2-16，所以y2-16≥0，解得y≤-4或y≥4.

所以该函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞）.

学生思维的灵活性因此得到了很好的培养，不仅如此，对均值定理这一知识的理解也因此加深.

三、利用“尝试错误”促进学生批判思维

学生只有具备估计思维材料、检查思维过程的品质才会在解题中敢于质疑，敢于批判.教师在具体教学中可以尽量暴露学生的错误并启发学生思考，培养学生敢于怀疑的意识与品质并使其辨误能力大大提升.

例3 在△ABC中，b=11，a=25，∠B=30°，试求∠A的大小.

这是一道教学正弦定理过程中的习题，学生有以下解答：

笔者也曾告诉过学生，三角函数不是特殊值时可以运用反三角函数对角进行表示.因此，学生给出这一解法之后，笔者首先请学生对这一解法的正误进行了判断.绝大部分的学生认为解题没错，但有一名学生却提出了0＜sinA≤1的结论，但此题中的这样的∠A显然是没有的.首先笔者对于学生敢于提出异议、善于思考与辨误的勇气进行了肯定与赞赏，接着便组织学生对三角函数的性质重新进行了反思，其他学生也终于认可了这位学生的答案.

四、利用“尝试错误”促进学生敏捷思维

在正确解题的前提下迅速而简捷地进行思维能使学生在解题中有效缩短运算环节与推理过程.教师应有针对性地训练学生的解题速度与能力，帮助学生学会总结快速解题的经验并概括规律，使学生能够在熟练、正确的解题锻炼中获得思维敏捷性的提高.

例4 已知直线l过点A（0，1）并和抛物线y2=x有且仅有一个公共点，试求直线l的方程.

学生解题如下：

解：设直线l的方程是y=kx+1，代入y2=x，可得k2x2+（2k-1）x+1=0.

因为直线l和抛物线y2=x有且仅有一个公共点，所以Δ=（2k-1）2-4k2=0，解得

引导学生对这一解法进行分析，可发现错误如下：①在利用点斜式设直线l的方程时将斜率k不存在的情况忽略了，也就是忽略了直线l垂直于x轴的这种情况；②利用判别式研究一元二次方程的根时，二次项系数k≠0，则在解题时必须考虑直线l和x轴平行这种情况.因此，上述解法明显是不完整的，直线l应有以下三条：y=

事实上，启发学生发现解题错误，还可以引导学生通过作图来发现，引导学生作出图1即可发现解题中的漏解之处.这种解题不仅快捷而直观，还能渗透数形结合的思想并令学生的思维敏捷性得到锻炼和拓展.

图1

五、利用“尝试错误”促进学生独创思维

学生具备思维的独创性能使其在独立思考中寻得具有新意的思路或方法.学生在独创思维中或许存在缺点与错误，但这种不循常规、寻求变异、勇于创新的思维习惯与品质却往往能使学生的解题独树一帜.

例5 某双曲线经过点A（-5，2），其焦点坐标为（-6，0）、（6，0），试求其标准方程.

很多学生面对此题时均想到了待定系数法，运用此法解题需要解方程组并求出标准方程中的a2与b2，这一解法相对常规但不够简捷.不过也有少数学生想到了以下具有一定特点的解法：

这种解法与运用待定系数法解题相比，显然在计算上更加简捷.笔者对少数学生的这一独创解法及时进行了肯定与赞赏，并引导学生回顾解题并发现其中是否存在错误，很快有学生发现a＞0这个条件被忽略了，因此并不正确，解法也应作出修改如下：

上述解法虽然存在一定的错误，但解题者的独立思考、对相关知识的深刻领悟、独创性思维却在解题中得到了充分的展露.

因此，学生数学学习中的错误并以此为基础作出的思维引导，能使学生在“尝试错误”的辨析中获得更好的审视、体验与反思，使学生的数学思维品质得到针对性的培养与锻炼并获得数学能力的提升.教师在利用学生的“尝试错误”进行教学与训练时，应引导学生对错误进行新的审视与反思并使其能够明辨是非，使学生能够在更加深刻地理解、领悟数学概念和定理与公式时获得数学素养的锻炼和提升.W