浅论数学课堂教学中的“数学敏感性”

南京市江宁高级中学 李中华

课堂教学是学校教学的主要呈现形式，学生的学习与思维的形成主要是在课堂上形成的.学生素养的高低取决于课堂教学的设计与教师的引领.培养学生的数学素养是数学教学的重中之重，而培养学生学习过程中的“数学敏感性”是首先要解决的问题.

敏感性是指在存在电磁骚扰的情况下，装置、设备或系统不能避免性能降低的能力；敏感性高，则抗干扰性低.敏感性（sensitivity）是约瑟夫奈和基欧汉在《权利与相互依赖》一书中创造的一个用于分析国际政治的概念，它是指依赖效应的大小与快慢，用来描述体系中某个部分的变化会在多短的时间内导致其他部分也发生变化的指标.在性格上可认为是过度地在意细节带来的感受和变动并善于将之放大，然后做出相应的反应.因此“数学的敏感性”，我们可以定义为学生在学习数学的过程中，数学的构成元素文字语言、符号语言、图形语言、数学语言等对学生观察力、思维力、联想力、注意力等产生突发性影响的学习性变化和探索性变化.学习数学重在发现与思考联想，“数学的敏感性”对培养这种能力至关重要.

一、在课堂教学中重视数学语言与符号的“敏感性”教学

数学学科独有的描述形式是这一学科的显著特点，往往在文字或符号上显示出思维的逻辑性与关联性.比如高中数学中“恒成立”和“存在性”问题的判别，在教学中这两者往往是联系在一起讲解的，学生也可以对比理解这两种知识的原理.如：

2.设F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，若存在点P使得求椭圆的离心率的取值范围

这两道题在教学中学生理解有很大的思维障碍.

第1题：设P（x，y）是双曲线上异于A，B的点，A（-a，0），B（a，0），因为直线PA，PB的斜率之积为2，所以kAP·kBP=2，得，整理得y2=2x2-2a2.在得到这个数学式子后绝大多数学生想到的是与双曲线方程联立求解，我们可以消去变量y，得到（b2-2a2）x2=a2b2-2a4，有的学生注意到了（b2-2a2）x2=a2b2-2a4=a2（b2-2a2），就把两侧的b2-2a2消掉了，得出了矛盾性的结论x2=a2（P为双曲线上异于A，B的点），由此学生思维陷于停顿.那么学生的思维怎样出现的这种状态呢？这是由于在两个数学知识点上“数学文字不敏感”与“数学符号不敏感”产生了错误的解法.首先（b2-2a2）x2=a2b2-2a4=a2（b2-2a2），方程两侧是不能直接消掉b2-2a2，要考虑这个式子能不能为零的情况，b2-2a2是“不确定的量”，字母本身含有“不确定性”，学生对字母表示的数学式子总是遗忘这种“不确定性”.再就是题目中“P为双曲线上异于A，B的点”这句话，表面平淡无奇，但“点P”具备“任意性”，只要不同于A，B两点，随你在双曲线上怎么取点，如果学生注意到了语言中暗含的这种特点，那么解题的思路方法便会豁然开朗.

方法三：学生在阅读题目时，还是在对“点P”位置能不能“敏感”一些，这个点具有普遍性，也就是“任意性”，转化为（b2-2a2）x2=a2b2-2a4=a2（b2-2a2）对任意x（x≠±a）恒成立，那么问题也就明朗了，只需b2-2a2=0，进而求出离心率.

以上两题对学生都有不小的难度，两题非常相似，但题目的转化处理不一样，学生对相关的文字与符号没有数学的“敏感性”是很难找到正确的解法的.

二、在课堂教学中重视数学图形的“敏感性”教学.

在数学教学中，常常会出现相关的数学图形，图形所反映出的数学特征多数情况下是解题的突破口，如椭圆教学中，常出现的一种图形是：

图1

如图1，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，过椭圆的右焦点作直线AB，若直线AB的倾斜角为θ，要求把焦半径AF2，BF2表示成θ的函数.在这个问题中，基本上学生是设直线AB的方程与椭圆方程联立求A，B点的坐标，但在解题过程中发现这个方法太烦琐了.出现这种想法的原因在于学生对椭圆图形的“不敏感”，椭圆的图形中涉及了一个焦点的弦，它的敏感触点在于椭圆的定义，或者焦点是两个，属于“难兄难弟关系”，一个被用到，你却不关注另一个，这本身就是一种忽视，是一种对“数学关系自然关联”的不敏感，连接AF1，BF1后，出现了两个焦点△AF1F2，△BF1F2，分别在△AF1F2，△BF1F2内，应用余弦定理可以建立焦半径与a，b，c，θ的联系.

即（2a-|AF2|）2=|AF2|2+|F1F2|2-2|AF2|×|F1F2|×cos（π-θ）.

所以4a2-4a×|AF2|=4c2+2|AF2|×2c×cosθ.所以a2-c2=a×|AF2|+|AF2|×c×cosθ.

可得到b2=|AF2|×（a+ccosθ），即.同理可得

进而有焦点弦长公式：

应用此结论解答2019年全国卷第10题：

例题（2019年全国卷）已知椭圆C的焦点为F1（-1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点.若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（ ）.

解析：由|AF2|＝2|F2B|，得所以a=-3cosθ.

由于|AF2|＝2|F2B|是两个焦半径，应该联想到椭圆定义的应用.

设|F2B|=m，可得|AF2|=2m，|AF1|=2a-2m，|BF1|=2a-m，|AB|=|AF2|+|BF2|=3m.

因为|AB|＝|BF1|，所以2a-m=3m.所以

在这里如果学生对数值“敏感”，可以立即由|AF2|=2m=a判断出点A就是椭圆短轴的一个端点，从而修改自己画的不准确的图形（如图2）.

图2

在三角形AOF2中，cosθ=，所以得a2=3.又c=1，所以b2=2，即椭圆C的方程是.故选B.

当然此题还有其他解法.比如题目中的条件|AF2|＝2|F2B|，如果学生对线段长之间的数量关系也“敏感”一些的话，这个“敏感”应是“线段长成比例”的认识，线段长成比例问题，在坐标系中往往作坐标轴的垂线，构造出其他线段长的比例问题，继而找出点的坐标，在本题中可过点B向x轴作垂线，根据比例求出点B的坐标为代入椭圆方程可求a2，b2.

数学教学对学生的思维能力的培养至关重要，但课堂中学生的思维意识是多角度和发散的，教师培养学生对数学知识点的“敏感性”就相当于我们在陌生的路途中建立起行走的“标识”，当我们再一次遇到这个“标识”，我们要有遇到“故知”的“敏感”，这种“敏感性”是对数学语言与符号、图形的“辨识”，或者说是一种“意识的行为本能”，当学生在学习中建立起这种“敏感性”，那么学生的思维能力会有巨大的突破，教师在数学教学中引领学生建立起数学知识中的这种“敏感性”是数学课堂的核心.W