“三会”唤醒学生的数学意识

■天津市第一百中学 郑金宾

《普通高中数学课程标准（2017 年版）》提出“会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界”（以下简称“三会”）。“三会”是数学核心素养的具体体现，高中数学课堂上践行“三会”要求，能够从根本上改变课堂学生面貌，唤醒学生的数学意识。

一、情境创设要立足于唤醒学生的“求新”意识

教学情境是教师在教学过程中营造的情感氛围。“三会”视角下的情境创设，更加注重情境的指向性、启发性、思维性和探究性，要求教学情境能够引导学生用数学眼光观察现象、发现问题，使用恰当的数学语言描述问题，用数学的思想、方法解决问题。

首先，教学情境的创设要从数学知识内容的逻辑体系出发，符合学习内容的需要，能够真实地再现与学生学习相关的真实世界，引发学生的“求新”意识。教学情境包括现实情境、数学情境和科学情境，这三类情境都应该是真实的，容易引发学生共鸣的。这里要防止“去数学化”倾向，为情境而情境，用情境刻意包装教学，凡情境必生活。如，教学“向量的减法”。以一句话“如果没有运算，向量只是一个‘路标’，因为有了运算，向量的力量无限”作为开头，点明了本单元的重要内容——向量运算，也给学生一个清晰的提示。在复习完向量加法法则以后，话锋一转：“我们知道，数学思维常见两种，一种是正向思维，一种是逆向思维。那么，把刚才的问题反过来描述……”教师适当鼓励学生的“创新”行为、“再创造”能力，持续激励学生探索新知的勇气和信心。

其次，在一节课中，教学情境与教学内容的结合应该是一个完整的过程，既要有“看”的过程、“想”的过程，又要有“说”的过程，使得教学情境有机地将观察、思考、表达世界这三个学习过程融为一体，前后关联，首尾呼应。要避免把教学情境只是作为一个“引子”和“跳板”，单纯用来激发兴趣和强化动机，用过就扔。如，教学“线面平行”。展示多个实例让学生观察线面平行的几何特征，引出线面平行的定义；得到概念以后引导学生分析线面平行的支撑条件，在组成要素及其相互之间确定的关系中发现规律和性质；回到开始展示的实例，引导学生分析如何判定线面平行、平行线如何寻找，实现数学建模过程；同时，也为学生继续用研究线面位置关系的一般方法处理线面平行问题指明了方向，提供了继续研究、求知求新的动力。

二、问题设置要立足于唤醒学生的“求真”意识

情境创设的目的是引发学生的问题意识。在传统课堂上，教师的观察、思考、表达常常替代了学生的观察、思考、表达，学生没有更多的时间和机会去观察、思考与表达，造成了学习能力不强。

在“会看”层面，教师要设计一些富有启发性的数学问题。例如：在这个数学研究对象中，存在哪些数量？这些数量有什么关系？存在哪些图形？这些图形有什么关系？这个数学研究对象，有没有研究的必要？如果有，它的价值在哪里？你以前见过这样的数学命题吗？你能得到什么新的数学概念或者法则？它的含义是什么？它的条件和结论是什么？它的结构特点是什么？等等。

在“会想”层面，教师要设计一些富有层次性的数学问题。例如：以前研究过类似的问题吗？当时的研究方法是什么？你能利用以前的研究方法研究现在的问题吗？你能通过同类的数学命题进行研究吗？你能提出哪些不同的假设？这些不同的假设会得到哪些数学命题？你能否验证数学命题的严谨性？如何保证运算的准确性？等等。

在“会说”层面，教师要设计一些富有探究性的数学问题。例如：现实世界的问题和情况如何简化成现实的模型？现实的模型如何翻译成数学模型？用数学语言如何描述？模型中如何确定参数？参数的意义是什么？你还能想出其他的参数吗？采用什么样的数学方法得到数学模型的解？如何检验实际问题的解？如何改进模型？建立的数学模型，对现实世界有什么价值和意义？等等。

三、内容选择立足于唤醒学生的“求实”意识

问题的设置取决于内容的选择。“三会”视角下的内容选择，更加注重教学内容的整体性和统一性，要“整体把握教学内容，促进数学学科核心素养连续性和阶段性发展”。

教师要构建结构化的知识体系，帮助学生理解、记忆和迁移，唤醒学生的“求实”意识。当前数学教学的最大问题是碎片化。一方面，教师要深入挖掘知识本身的结构化体系，其中，知识的形成、发展、应用的过程，问题的发现、提出、分析、解决的过程，也是知识结构化的一种重要体现，这也是“三会”一体化的具体表现。另一方面，教师要深入挖掘知识之间的结构化体系，把具有逻辑关系的教学内容融为一体，进行整体设计，使学生在知识的融会贯通中发展“求实”意识。如，教学“任意角的三角函数”。这节课在教学内容的选择上，要突出锐角三角函数坐标化的过程，突出单位圆介入的时机和作用，借助单位圆建立一般三角函数的概念；从函数的逻辑体系出发，探究任意角三角函数的定义域及函数值的符号，利用直观图形探求三角函数值；尝试用对应的数学语言表达三角函数；逐步渗透抽象、推理、模型等基本思想。

此外，我们还应该看到，当前数学教学的碎片化问题不仅是知识的碎片化，而且是研究方法的碎片化。研究方法是发现新现象、新事物，或提出新理论、新观点，揭示事物内在规律的工具和手段。教学内容的选择，离不开重视过程、贯彻始终的研究方法作为牵引，研究方法是解决相关问题的“指路灯”“导航器”。如，教学“解析几何”。解析几何主要的研究方法是代数方法。“斜率”的驱动问题是“如何把几何量代数化、运算化”“直线方程”的驱动问题是“当点在直线上运动时，它的坐标应满足怎样的关系式”“圆锥曲线”的驱动问题是“如何借助方程研究曲线”。这样，解析几何的每个知识点都成为核心思想统率下的、作为整体的一个有机组成部分，实现了研究方法的整体性应用。

四、教学方式立足于唤醒学生的“求异”意识

整体性的教学内容设计应以学生的思维发展为主线，实施有利于促进学生学习的多样化教学方式。“三会”视角下教学方式的选择，应更多地“把教学活动的重心放在促进学生学会学习上”，引导学生走向深度学习，实现成长的增值。

要重视多元表征技术的应用。表征是知识在个体心理上的反映和存在方式，是可以指代教学内容的符号或信号。如果学生不能将所学的知识在记忆中进行表征，就很难形成网络化的知识结构。多元表征主要包括动作表征、形象表征、语言表征、符号表征等四种方式，教师要引导学生从动作、形象、语言、符号等多个角度审视研究对象，多个层面呈现问题本质。如，教学“函数的单调性”。以二次函数f（x）=x2为例，利用动画制作函数图象上升或者下降的动态演示，体现动作表征；从动作特征上反映出函数图象的特征，体现形象表征。从函数图象特征过渡到“二次函数f（x）=x2在区间[0，+∞]上，f（x）随着x的增大而增大”，体现语言表征；而由语言表征过渡到符号表征是教学难点。“增大”意味着比较，需要建立两个量的大小关系；“x的增大”表述为x1＜x2；“f（x）增大”表述为f（x1）＜f（x2）；“随”：当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2）。这样的多元化表征方式，体现了函数单调性的概念本质。

要重视数学变换技术的应用。变换是指一种情境中发现或者理解的动力模式应用于另外一种情境，是学习迁移的重要原因。常用的数学变换方法有传递形式的变换、符号表达方式的变换、空间关系的转换，实现把一种运算转换成另一种运算，把一种图形转换成另一种图形。如，教学“等差数列”。教师要加强传递形式和图形形式的变换，如直线的倾斜程度、值域、单调性等视角，强化用函数思想方法来解决等差数列问题；从数学运算角度看，等差数列的通项、前项和分别属于一次、二次运算形式，教师也要突出这种运算的变化，培养学生思维的批判性和创造性。

总之，数学核心素养的核心在于“会观察世界、会思考世界、会表达世界”。“三会”指明了数学教育发展的方向和应该达到的目标，生动地刻画出了数学教育究竟“培养什么样的人”的问题。教师要认真研读课程标准要求，努力践行“三会”要求，用“三会”唤醒学生的数学意识，提升学生数学能力，使得数学课堂有浓浓的数学味道。