从数学史角度比较数学教材中的课例选择
——以勾股定理为例

■洛阳师范学院 数学科学学院 王众杰 来 靓

一、问题背景

勾股定理是中学课本中基础的几何定理，它的历史源远流长。在中国古代的商朝时期，商高率先提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，因此勾股定理也被称为商高定理。在古代西方国家，最早提出并证明勾股定理的是公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他的学派创始人毕达哥拉斯用演绎法证明直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。经过几千年数学史的发展，人们已经发现400余种证明方法。勾股定理在人类的数学发展史中占据了重要地位，它不仅仅是个简单的定理，更蕴含了千百年来数学发展的艰辛与挫折。

二、问题提出

勾股定理作为初中阶段一个基础的定理，在后续数学的学习中都发挥着重要的辅证作用，本文从习题配置、数学史背景知识两方面分析八个版本教材对于数学史知识融入课本的程度，以达到优化教学课堂的目的。

三、教材分析

（一）教材选择与分析

我国现行中学数学教材种类繁多，人教版、北师版、华师版、沪科版、冀教版、鲁教版、青岛版、苏科版、湘教版、浙教版、上海版、京教版十二个版本的教材，下面筛选出八个版本的教材供参考。

本文通过文本比较分析的方法对人教版、北师大版、华师版等八个版本的教材中“勾股定理”的内容从数学史习题配置以及背景知识融入方面进行了比较分析。

（二）教材解读习题配置

1.《九章算术》关于“引葭赴岸”的叙述。“今有池水一方，葭生其中夹，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何”。引葭赴岸问题流传甚广，类似题目在史书《张邱建算经》《四元玉鉴》中也曾出现。相似问题在国外史学典籍中也有迹可循，例如，印度古代数学家婆什迦罗的《丽罗瓦提》中 的“风动红莲”问题；阿拉伯数学家阿尔•卡西的《算术之钥》中的“池中长茅”问题；欧洲《十六世纪的算术》一书中又有“圆池芦苇”问题。 在现代中学数学教材中，人教版、沪教版、冀教版、鲁教版、苏科版均出现了这道题，五个版本对“引葭赴案”问题的译文仅有细微差别，采用的语言通俗易懂，学生易于理解。这五个版本中，冀教版比较特殊，称此题为“池葭出水”引用古典不同，但实质相同，均可取。

2.赵爽出入相补法证明勾股定理。我国古代数学家赵爽根据此图巧妙运用面积拆分挪移证明了勾股定理。人教版“出入相补法”与鲁教版“青朱出入图”以及意大利画家达芬奇的证明方法均是运用面积增补进行证明，但人教版教材中这部分内容安排在正文部分，鲁教版中安排在阅读材料部分，学生很大程度上会忽略这一部分的证明。所以，两者相比起来，人教版教材在内容安排上略胜一筹。

3.《原本》中欧几里得的面积证明法。北师版和苏科版教材的阅读材料中出现了此法。北师版文字描述证明过程略详尽，苏科版数学符号更多，两者在叙述语言上都秉承简洁清晰的原则，均可取。

4.数学史背景知识融入。人教版教材关于数学史材料的引入是毕达哥拉斯的思考与证明、勾股定理、费马大定理；北师版采用《原本》证明；华师版采用《周髀算经》中“弦图”和勾股定理简介、勾股定理无字证明；沪教版采用赵爽的叙述、勾股定理简史；冀教版是《周髀算经》勾股定理的记载；鲁教版采用勾股数与费马大定理、古哥伦比亚时期泥板文字；青岛版采用《周髀算经》勾股定理、勾股数组；苏科版采用商高与勾三股四弦五、赵爽“弦图”、普林顿322。

人教版教材在勾股定理的安排中数学史出现七处，章主题页、节头、习题和阅读与思考栏目均涉及；北师版教材对于数学史涉及的内容有三处，出现在习题和读一读栏目；华师版教材对于数学史涉及的内容有三处，出现在读一读与阅读材料中，着重介绍了中国古代对于勾股定理的发现与研究；沪教版教材中出现两处，着重介绍了赵爽的“弦图”，以及《周髀算经》中周公与商高关于勾股定理的介绍；冀教版教材中的一处是周公商高、大禹、赵爽、毕达哥拉斯关于勾股定理的研究；鲁教版的三处介绍分别是中国古代商高、古巴比伦人的数学泥板、毕达哥拉斯的相关证明，这个版本的精彩之处在于介绍了费马大定理与勾股数的关系以及给出了中国（青朱出入图）、印度、意大利（画家达芬奇）的三种无字版证明；青岛版的两处点睛之笔在于介绍了古巴比伦人记载的勾股数组并且拓展介绍了计算勾股数组的公式；苏科版教材不同于其他七个版本教材之处在于点名了古巴比伦泥板的编号“普林顿322”，但实际上也是勾股数组的记载。

（三）研究结论与建议

1.习题配置分析。从数学史选材范围对比，北师版教材选用西方数学史内容较多，选取国内史料较少，这些西方史料大都安排在自主学习部分，另外七种教材中对于我国古代数学史资料引用比较多。从数学史具体内容上对比，人教版内容占6处，鲁教版内容占7 处，苏科版内容占6 处，相对于其他无个版本教材而言，人教版、鲁教版和苏科版教材选材范围比较丰富，出现的位置多样化，分布比较广泛。从知识编排分布上比较，华师版、沪教版、冀教版将数学史内容巧妙融合进了练习题当中，另外的五种教材中数学史内容则多是安排在课后阅读材料当中。

2.史料结合分析。从知识编排分布比较人教版、华师版、沪教版、冀教版、苏科版这五个版本比较注重新知识的融地与结合，通过简单的生活例子引出课题，循序渐进加深知识难度。人教版教材中关于费马大定理的引入点到为止，考虑到学生的接受能力并未过多涉及疑难问题。北师版、鲁教版、青岛版这三个版本教材将数学史内容安排在课外阅读上比较多，节省学生课堂时间，学生可以自由选择。

从知识选材范围比较北师版的材料略显单薄，人教版、华师版、鲁教版、苏科版内容比较详尽，除了简要介绍基础的勾股定理相关知识以外，华师版给出的三种无字证明可以很好地锻炼学生的思维能力；鲁教版、苏科版、青岛版均提到了“普林顿322”泥板，也就是勾股数组，史料结合，有力地证明了勾股定理出现的年代。

3.结论与建议。研究的八个版本的教材中，人教版教材是目前国内中小学使用范围最广的一种教材，人教版教材在数学史方面的引入非常到位，从知识的选材范围、编排分布、具体内容三个角度考核比较平衡，既涉及了国内外的史料，也突出了我国在勾股定理发现探究的领先地位，但是美中不足的一点是缺少勾股数组和勾股树知识点的介绍。

北师版教材内容清晰简洁，在勾股定理的知识编排上省略很多繁文末节，学生进行学习时比较有条理，但是在略去的内容中，有一些我国重要史料没有呈现在课本上，所以选用这版教材的学校中关于我国勾股定理的发展历史相对而言掌握较少，可以适当考虑多引入我国史料。其他六版教材在国内通行度略低，但也是各有千秋，鲁教版在史料较为丰富；华师版在编排上比较严谨；沪教版、冀教版、青岛版、苏科版在各方面比较平衡，结合数学史内容，可以达到灵活运用勾股定理解决后续各种相关问题的目标。