顾客等待和需求转移的连锁零售商EOQ模型

罗 兵，邓 琼

（1.重庆大学 经济与工商管理学院，重庆 400030；2.重庆大学 现代物流重庆市重点实验室，重庆 400030）

1 引言

在连锁零售商的销售实践中，因商品是新上市或限量供应，使得商品可能出现缺货现象。2019年2月星巴克“樱花杯”开售，一款“猫爪”造型水杯吸引了消费者目光，该商品一上市就遭到“疯抢”，消费者辗转线下各门店排队购买，水杯畅销使商品供应不足，消费者“一杯难求”，甚至不惜为此大打出手。宝洁公司调查数据显示：在缺货时，顾客转移到其他门店购买的比例约占31%，延迟购买的占13%。连锁零售商品缺货时，大部分消费者要么选择等待购买，要么转向其它渠道购买，但缺货不可避免会带来利润损失。因此，学术界和实业界一直非常重视缺货时顾客等待和转移购买行为的研究。缺货时顾客的转移购买属于库存驱动的需求转移，Gavan等[1]较早研究了顾客在缺货时的等待和转移购买行为，分析了缺货时顾客对于转移购买的积极和消极反应；Dandan等[2]研究了缺货时顾客转移购买的线上和线下双渠道供应链库存模型，分析了固定需求转移率对最优库存策略的影响；Li等[3]从多渠道竞争环境中分析了需求转移对零售商定价和库存决策的影响；王滔等[4]建立了一对一的二级供应链双渠道议价模型，其中考虑退货时顾客的转移购买行为；文献[2-4]研究了多渠道竞争环境下顾客的转移购买行为，但基本未研究缺货时顾客的等待购买行为；赵秋红等[5]考虑了部分顾客转移购买情况，提出了实施库存转运和不实施库存转运两种情况下的双分销渠道订货策略，文中考虑缺货量但未涉及短缺量滞后供给率是时变的情形；Kumar等[6]进一步考虑顾客等待受线性时变的影响；苏雪玲等[7]则认为等待的指数时变函数更适合某些实际情况，研究了预售模式下生鲜产品库存决策问题；罗兵等[8]构造了受价格和等待时间共同影响的短缺量滞后供给分数，建立了顾客等待意愿不相同的EOQ模型[9]；文献[6-9]仅考虑缺货时顾客等待意愿是时间的变量，但实际上，商品缺货时经常存在顾客等待和转移购买两种消费者行为。

本文参考文献[5]和文献[9]，考虑紧俏新上市商品的客户吸引力和品牌特性，一般不能在其它销售渠道购买，消费者对紧俏新上市商品的等待和购买意愿比一般商品强。因此，本文考虑滞后供给分数是指数时变的情况，缺货时紧俏新上市商品丢单量少，以连锁零售商为研究对象，建立一个短缺量滞后供给和需求转移的EOQ模型，分析连锁零售商的订货策略和利润变化规律，为连锁经营决策提供参考。

2 连锁零售商的EOQ模型

2.1 符号和条件假设

本文研究连锁零售商固定需求下销售紧俏新上市商品的库存决策问题，假设总连锁零售商在特定区域内仅有两家连锁零售商1和2，单周期问题，零售商会出现缺货，缺货时部分顾客选择等待购买，其余顾客转向另一个零售商购买。

采用o和s表示连锁零售商1和连锁零售商2，具体假设和符号定义如下：

Io、Is分别为连锁零售商1、连锁零售商2期初库存水平，Io(t)、Is(t)分别为零售商1、零售商2在t时刻的库存水平；Qo、Qs、Q分别为零售商1、零售商2订货量及总订货量；ps为商品销售价格，D(ps)、Do(ps)、Ds(ps)为市场总需求及零售商1、零售商2的独立需求，且D(ps)=a-bps、Do(ps)=εD(ps)、其中，a为市场初始需求，b为需求价格弹性，ε为零售商1需求占比率，且a＞0，b＞0，0＜ε＜1；Ao、As为零售商1、零售商2商品补货启动费用，pb为零售商1、零售商2商品单位购买价格，h为零售商1、零售商2商品单位时间持货成本，c1、c2为零售商1商品单位时间内滞后供给成本和丢单成本，且c1＜c2，此时零售商愿意缺货回补；t1、t2为商品有现货和缺货时间，T为单周期长度，ρτ=kτe-k1τ为短缺量滞后供给率，kτ为等待时间的短缺量滞后供给敏感因子，k1为等待时间敏感因子，且kτ＞0，k1＞0；B为零售商1最大滞后供给量，L为零售商1最大丢单量，π(t1,t2)为总连锁零售商单周期内的平均利润。

2.2 建立数学模型

单周期内各连锁零售商库存水平情况如图1所示。

图1 单周期内连锁零售商库存水平变化图

对于连锁零售商1的商品，单周期内t时刻的库存水平需满足：

由此可计算最大滞后供给量：

零售商1商品单周期内订货量：

计算零售商1商品单周期内的销售收入和成本如下：

补货成本：

滞后供给成本：

丢单成本：

对于连锁零售商2的商品，单周期内t时刻的库存水平需满足：

由边界条件Is(t1+t2)=0可得：

故零售商2商品单周期内的订货量：

计算零售商2商品单周期内的销售收入和成本如下：

销售收入：

补货成本：

持货成本：

最后，计算单周期内总连锁零售商的平均利润如下：

由此可建立总连锁零售商库存系统优化模型：

3 模型的最优解分析和管理启示

分别对t1和t2求偏导数可得：

联立式（10）和式（11），可得：

则式（13）等价于：

根据式（14）可求t2关于t1的表达式：

对式（15）关于t2求导，可得：

对式（14）左边关于t2求导，可得：

最后联立式（9）和式（11），可得：

令式（18）左边等于F(t2)，则可根据F(t2)的性质分析总连锁零售商的库存问题。

证明 由式（18）可得F(t2)表达式，结合式（15）和式（13），可得F(t2)关于t2的导数：

当t2趋近于0时，若kτ-1＞0且则成立，又因为则存在唯一使得成立，将代入式（15）即可得唯一

定理2 当kτ-1＞0且时，存在唯一关于t1和t2的一阶导为零同时成立，且使得总连锁零售商平均利润函数取得唯一最大值。

由定理1和定理2可知，连锁零售商1需求占比和时间短缺量滞后供给因子应满足一定条件，只有当连锁零售商1需求占比大于时，总连锁零售商存在最优有现货时间和缺货时间，此时总连锁零售商平均利润函数取得唯一最大值。由式（3）和式（7）可知，在其它条件不变时，当连锁零售商1需求占比和时间短缺量滞后供给因子增大时，零售商1应增加商品订货量，零售商2应减少商品订货量。

定理3 当kτ＞1且εkτ＞1时，最优缺货时间和有现货时间取值范围为：时，最优缺货时间和有现货时间取值范围为：

由定理3可知，商品最优缺货时间和有现货时间有两种取值范围。当连锁零售商1需求占比大于时，有现货时间受单位时间丢单成本、时间短缺量滞后供给因子和单位时间持货成本影响，当单位时间持货成本和时间短缺量滞后供给因子减少，单位时间丢单成本增加时，连锁零售商应增加商品有现货时间；当连锁零售商1需求占比大于时，有现货时间受单位时间内滞后供给成本、单位时间持货成本、时间敏感因子、单位丢单成本、时间短缺量滞后供给因子影响，当单位时间持货成本和时间敏感因子减少，单位时间滞后供给成本、丢单成本、时间短缺量滞后供给因子、零售商1需求占比增加时，连锁零售商应增加商品有现货时间和缺货时间。

4 仿真分析

4.1 数值算例

参考罗兵等[8]设定连锁零售商库存系统参数如下：a=15.8，b=0.6，ps=10.9，pb=5.8，ε=0.75，kτ=1.5，k1=0.5，h=1，c1=0.8，c2=1，As=50，Ao=40。

利用Maple2017进行数值仿真计算，可得如下结果（保留5位小数）：π*=15.186 24。

4.2 主要参数的灵敏性分析

以下对ε、kτ、k1、ps等参数进行灵敏性分析，具体见表1-表4。

表1 零售商1需求占比ε 灵敏度分析

随着ε增大，商品有现货时间和缺货时间先增加后缩短，零售商1订货量增加、零售商2订货量减少，总订货量先增加后减少，总连锁零售商平均利润增加。这是因为零售商1需求市场变大从而带来平均利润增加，当该零售商需求占比达一定程度时，会产生羊群效应，大批客户将吸引更多的人流，导致另一零售商客户流骤减，使得总订货量减少，此时连锁零售商应减少商品有现货时间和缺货时间，降低持货和丢单成本，以避免分销渠道竞争带来利润损失。

随着kτ增大，商品有现货时间缩短，缺货时间增加，需求转移率变小，零售商1订货量增加，零售商2订货量减少，总订货量增加，总连锁零售商平均利润增加。这是因为时间短缺量滞后供给因子越大时顾客越愿意等待，消费者对等待时间不敏感，其更愿意等待购买而不是更换零售商购买，顾客对于缺货反应是积极的，而对于转移购买是消极的，此时连锁零售商应采用饥饿营销策略，缩短商品有现货时间，延长缺货时间，限量供应。

表2 时间短缺量滞后供给因子kτ 灵敏度分析

表3 时间敏感因子k1 灵敏度分析

随着k1增大，商品有现货时间增加，缺货时间缩短，需求转移率变大，零售商1订货量减少，零售商2订货量小幅度增加，总订货量减少，总连锁零售商平均利润减少。这是因为时间敏感因子越大，消费者更愿意更换零售商购买而不是等待缺货回补，顾客对于缺货反应是消极的，而对于转移购买是积极的，从而导致零售商1客户流失，因零售商1占有较大市场需求，客户流失导致消费者忠诚度和满意度降低，即使消费者向其他连锁零售商转移购买也无法弥补利润损失，此时连锁零售商应尽量满足消费者需求，保证现货供应，避免商品缺货。

表4 销售价ps 灵敏度分析

随着ps提高，商品有现货时间和缺货时间均增加，各零售商订货量和总订货量均减少，总连锁零售商平均利润增加。这是因为商品售价增加时，需求减少，订货量减少，但此时商品售价提高带来的利润增加大于订货量减少带来的利润损失。因此，当销售价提高时，连锁零售商应增加商品有现货时间和缺货时间。

5 结论

本文考虑商品缺货时顾客的等待和转移购买行为，建立了缺货时发生短缺量滞后供给和需求转移的连锁零售商EOQ 模型，分析了模型唯一最优解的存在条件以及商品有现货时间和缺货时间的合理取值范围，采用仿真工具求解，得出以下研究结论：当时间短缺量滞后供给因子和连锁零售商需求占比满足一定条件时，商品有现货时间和缺货时间存在合理的取值范围；当顾客对缺货反应积极而对转移购买消极时，连锁零售商应采用饥饿营销策略，缩短商品有现货时间，延长缺货时间，限量供应；当顾客对于缺货反应消极而对转移购买积极时，连锁零售商应尽量满足消费者需求，保证商品现货供应，以避免商品缺货；当各连锁零售商需求占比失衡时，应减少商品有现货时间和缺货时间，降低订货量和提高售价可使总连锁零售商减少利润损失。