一般三阶非线性常微分方程的正周期解

邓正平, 李永祥

(西北师范大学 数学与统计学院, 兰州 730070)

0 引 言

考虑一般三阶常微分方程:

Lu(t)=f(t,u(t),u′(t),u″(t)),t∈

(1)

正2π-周期解的存在性, 其中:Lu(t)=u‴(t)+a2u″(t)+a1u′(t)+a0u(t)是三阶常微分算子,ai∈,i=0,1,2;f:×[0,∞)×2→[0,∞)连续,f(t,x,y,z)关于t以2π为周期.

三阶微分方程在力学、 核物理、 边界层理论等实际问题中应用广泛, 周期现象也普遍存在.目前, 关于三阶非线性周期问题解的存在性研究已有很多结果[1-10]：文献[2]研究了三阶微分方程

u‴(t)+ρ3u(t)=f(t,u(t)), 0≤t≤2π

(2)

u‴(t)+h(t)u(t)=f(t,u(t)), 0≤t≤2π

(3)

的周期边值问题, 运用锥上的Krasnoselskii不动点定理, 获得了方程(3)正解的存在性结果.其中:h: [0,2π]→[0,∞)连续, 且为非负函数.文献[5]研究了三阶非奇异非线性微分方程

u‴(t)+αu″(t)+βu′(t)=f(t,u(t)),t∈[0,2π],

(4)

其中α,β为正常数, 在满足特定的条件下, 用锥上的Krasnoselskii不动点定理获得了方程(4)正周期解的存在性结果.文献[9]研究了完全三阶微分方程

u‴(t)=f(t,u(t),u′(t),u″(t)),t∈,

(5)

其中f:×[0,∞)×2→连续, 关于t以ω为周期, 用锥上的不动点定理获得了方程(5)正周期解的存在性结果.

受上述研究结果的启发, 本文运用锥上的不动点指数理论, 考虑非线性项f中含有u′,u″的三阶常微分方程(1), 在非线性项f满足特定的增长条件下, 把方程(1)的正2π-周期解问题转化为锥上的不动点问题, 再应用锥上的不动点指数理论获得了方程(1)正2π-周期解的存在性结果.

1 预备知识

记C2π()是以2π为周期的全体连续函数按范数构成的Banach空间.对∀n∈, 记()是以2π为周期的n阶连续可微函数全体按范数构成的Banach空间.记()是C2π()中的非负函数锥.记P(λ)=λ3+a2λ2+a1λ+a0为微分算子L的特征多项式, N(P(λ))表示P(λ)在复平面上的零点集.P(λ)满足假设条件:

(H1)N(P(λ))⊂{z∈||Imz|<1/2}.

引理1[11]假设条件(H1)成立, 且a0>0, 则三阶线性边值问题:

(6)

存在唯一解r(t)∈C3[0,2π], 且对∀t∈[0,2π],r(t)>0.

设h∈C2π(), 考虑线性微分方程

Lu(t)=h(t),t∈

(7)

正2π-周期解的存在性.

引理2假设条件(H1)成立, 且a0>0, 则对∀h∈C2π(), 线性方程(7)存在唯一的2π-周期解

(8)

其中

(9)

为相应的Green函数, 且解算子S:C2π()()为线性全连续算子.

证明：对∀h∈C2π(), 易验证式(8)为线性方程(7)唯一的2π-周期解u∶=Sh.由式(8),(9), 易见解算子S:C2π()()为线性有界算子.由嵌入映射()()的紧性可知,S:C2π())为线性全连续算子.证毕.

根据式(9), 有

(10)

定义正常数σ,C1,C2如下:

(11)

(12)

对∀t∈, 由于u(i)(t)=G(i)(t,s)h(s)ds(i=1,2), 从而

故u∈K.证毕.

下面考虑非线性方程(1)的正2π-周期问题.设f:×[0,+∞)×2→[0,∞)连续.对∀u∈K, 令

F(u)(t)∶=f(t,u(t),u′(t),u″(t)),t∈,

(13)

(14)

由算子S的定义, 方程(1)的正2π-周期解等价于A的非平凡不动点.由引理3, 有:

引理4假设条件(H1)成立, 且a0>0, 则由式(14)定义的算子A:K→K为全连续算子.

2 主要结果

假设条件：

(H2)存在ε∈(0,a0)且δ>0, 使得当|(x,y,z)|<δ时，f(t,x,y,z)≤(a0-ε)x;

(H3)存在ε>0且H>0, 使得当|(x,y,z)|>H时，f(t,x,y,z)≥(a0+ε)x;

(H4)存在ε>0且δ>0, 使得当|(x,y,z)|<δ时，f(t,x,y,z)≥(a0+ε)x;

(H5)存在ε∈(0,a0)且H>0, 使得当|(x,y,z)|>H时，f(t,x,y,z)≤(a0-ε)x.

定理1假设条件(H1)成立, 且a0>0,f:×[0,+∞)×2→[0,∞)连续,f(t,x,y,z)关于t以2π为周期, 若f满足假设条件(H2),(H3), 则方程(1)至少有一个正2π-周期解.

(15)

(16)

因为u0∈Ω1∩K, 由K和Ω1的定义, 有

(17)

因此, 由条件(H2), 有

(18)

由式(16)和式(18), 有

(19)

对式(19)在[0,2π]上积分, 并由u0(t)的2π-周期性, 有

(20)

i(A,Ω1∩K,K)=1.

(21)

另一方面, 由条件(H3), 存在ε1>0和H>0, 使得

f(t,x,y,z)≥(a0+ε1)x,t∈, |(x,y,z)|>H.

(22)

令C0=max{|f(t,x,y,z)-(a0+ε1)x|:t∈, |(x,y,z)|≤H}+1, 由式(22), 有

f(t,x,y,z)≥(a0+ε1)x-C0,t∈.

(23)

(24)

因为u1∈∂Ω2∩K, 由K的定义, 有

(25)

由式(23), 有

(26)

由式(24),(26), 有

(27)

对式(27)在[0,2π]上积分, 并由u1(t)的2π-周期性, 有

(28)

取R>max{R1,δ}, 则‖u1‖C2≤R1

i(A,Ω2∩K,K)=0.

(29)

由不动点指数的区域可加性及式(21),(29), 有

定理2假设条件(H1)成立, 且a0>0,f:×[0,+∞)×2→[0,∞)连续,f(t,x,y,z)关于t以2π为周期, 若f满足假设条件(H4),(H5), 则方程(1)至少有一个正2π-周期解.

(30)

因为u0∈Ω1∩K, 由K和Ω1的定义,u0满足式(17), 且由条件(H4), 有

(31)

由式(30),(31), 有

(32)

对式(32)在[0,2π]上积分, 并由u0的2π-周期性, 有

(33)

i(A,Ω1∩K,K)=0.

(34)

另一方面, 由条件(H5), 存在ε1∈(0,a0)和H>0, 使得

f(t,x,y,z)≤(a0-ε1)x,t∈, |(x,y,z)|>H.

(35)

(36)

因为u1∈∂Ω2∩K, 由K的定义,u1满足式(25), 则有

所以有

从而由式(35), 有

(37)

由式(36),(37), 有

(38)

对式(38)在[0,2π]上积分, 并由u1(t)的2π-周期性, 有

(39)

i(A,Ω2∩K,K)=1.

(40)

由不动点指数的区域可加性及式(34),(40), 有

例1考虑如下三阶微分方程:

u‴(t)+0.3u″(t)+0.092 5u′(t)+0.007 25u(t)=u2(t)+(u′(t))2+(u″(t))2,t∈.

(41)

相应于方程(1), 对应的特征多项式为

P(λ)=λ3+0.3λ2+0.092 5λ+0.007 25=(λ+0.1-0.25i)(λ+0.1+0.25i)(λ+0.1),

满足假设条件(H1), 方程(41)相应于方程(1)的非线性项为f(t,x,y,z)=x2+y2+z2, 易验证满足条件(H2),(H3).由定理1, 三阶微分方程(1)至少有一个正2π-周期解.

例2考虑如下三阶微分方程:

(42)

相应于方程(1), 对应的特征多项式为

P(λ)=λ3-0.1λ2+0.052 5λ+0.007 25=(λ-0.1-0.25i)(λ-0.1+0.25i)(λ+0.1),