环R+vR上的斜常循环码

王艳萍，林 勇

（宿州学院数学与统计学院，安徽宿州234000）

许多学者早已研究了各个环上的循环码、常循环码、斜循环码、负循环码等等，而其中循环码是代数编码与密码中最重要的一类码。自1994年，Hammons 等人通过研究二元线性码[1]以来，近些年，许多学者将研究重点转移到有限环上。文献[2-14]通过分析斜多项式环、构造自同构，然后来讨论其环上斜循环码的性质。文献[15-19]分别研究了不同环上的斜常循环码，进而得到相关性质和结论。本文首先给出了环R+vR(v2=1)上的一个Gray 映射，研究该环上线性码的性质；其次，研究了该环上的斜常循环码，得到该环上码的充要条件；最后，在特殊条件的限制下，研究了该环上对偶码的性质。

1 基本知识

本文令ℜ=R+vR，其中v2=1。此时，

令e1=2-1(1+v)，e2=2-1(1+v)，易证e1,e2为环ℜ 中相互正交的幂等元，且

任意两个元素X=(x1,…,xn) ，Y=(y1,…,yn)∈ℜn，定义其内积为

如果C是ℜ 上长为n的码，则其对偶码可表示为：C⊥={x∈ℜn,

引理1[20]如果C是环ℜn上长度为n的线性码，可以定义：

则可知：C1,C2为R上长为n的线性码；且线性码C可唯一表示：C=e1C1⊕e2C2。

定义1若对∀c=(c0,c1,…,cn-1)∈C满足：

注若λ=1，称码C是斜循环码；若λ=-1，称码C是斜负循环码。

2 环ℜ 上的Gray 映射

定义环ℜ 到R2的一个Gray 映射φ：对∀c=e1x+e2y∈ℜ ，使得φ(c)=(x,y) ，其中x,y∈R。并将其扩展到ℜn上，即ℜn到R2n上Gray 映射Φ：

对∀c=(c0,c1,…,cn)∈ℜ ，使得Φ(c)=(x0,x1,…,xn-1,y0,y1,…,yn-1) ，其中c1=e1xi+e2yi且xi,yi∈R,i=0,1,…,n-1。

∀c∈C，其Gray 重量是WG(c)=WH(x,y)，且Φ是一个保持距离不变的映射，此时的映射为双射。

定理1设C=e1C1⊕e2C2是环ℜ 上长为n的线性码，则

证明（1）类似引理1 定义集合：

即证Φ(C⊥)=Φ(C)⊥。 运用（1）的方法可证

3 环ℜ 上的斜常循环码

引理2设是定义1 中的，则可得三个等价的条件：

（3）xn-v是的中心。

证明（1）⇒（2）

对∀ax∈ℜ，有

（2）⇒（3）

即证xn-v是的中心。

（3）⇒（1）由定义可知，显然成立。

注（1）以下结论均在

（2）若θ为环R上的一个自同构，假设ℜ上的自同构成立，则可推出

定理2设线性码C=e1C1⊕e2C2，则C是常循环码⇔C1为环ℜ 上的斜循环码，而此时C2为环ℜ 上的斜负循环码。

证明对∀r=(r0,r1,…,rn-1)∈C，

设a=(a0,a1,…,an-1),b=(b0,b1,…,bn-1)，则可得

a∈C1,b∈C2；又

得ρθ,v(r)=e1ρθ,1(a)+e2ρθ,-1(b)，所以，即证结论成立。

定理3假定C=e1C1⊕e2C2为环常循环码，其中C1=

证明（1）先证C=

设g(x)=e1g1(x)+e2g2(x)，显然

e2g2(x)=e2g(x)，推出C⊆

（2）再证g(x)右整除xn-v。

因为g1(x)右整除xn-1，g2(x)右整除xn+1，即存在f1(x),f2(x)满足

又ve1=e1,ve2=-e2，则

即证。

即证。

4 对偶码

定理4设为上述规定的，C是环ℜ 上的线性码，则可得C为常循环码⇔C⊥为常循环码。

证明“⇒”若C为常循环码，由其定义可知：对∀u=(u0,u1,…,un-1)∈C有

则对∀t=(t0,t1,…,tn-1)∈C⊥有，即

“⇐”同理可证结论成立。

引理3设

则有以下结论相互等价：

（1）a(x)的系数向量和xi(xn-1φ(b(x)))的系数向量正交；

（2）(a1,a2,…,an-1)与及其常循环码移位正交；

注该引理（3）证明方法可参照文献[18]类似证明。

定理5设C为环ℜ 上长为偶数n的常循环码，C=

（1）xdeg(h(x))φ(h(x))是xn-v的右因子；

（2）C⊥=

证明（1）由上述定义可知，，所以

即证。

即证

5 小结

文章首先给出了环R+vR(v2=1) 的Gray 映射，研究了环上线性码的性质；其次通过构造该环上的自同构，研究了该环上的斜常循环码一些性质；最后研究了在偶长度且自同构阶数为2 的限制条件下对偶码的性质。