数学学科德育视角下的高中学段起始课设计

江苏省无锡市第一女子中学(214001) 华东师范大学教师教育学院(200062) 王 剑

立德树人是当下基础教育的根本任务,如何在教学实践中落实立德树人根本任务,是数学教学的重要课题.《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）中,突出强调了学科德育的重要性,即;“通过高中数学课程的学习,提高学习数学的兴趣,增强学好数学的自信心,养成良好的数学学习习惯;树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神;认识数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值.”

从初中进入高中,是学生学习道路上一个崭新的起点,而如何上好第一堂课,即高中学段的起始课,对学生来说意义重大.这堂课不仅有学生对教师和高中数学知识的初次印象,更饱含了学生对整个高中数学学习的展望.如果教师没有任何铺垫地开始高中数学集合知识的讲演作为第一堂数学课,那么学生很可能会因集合语言的抽象性而感到困惑,并且缺乏新知识引入的必要性,容易导致学习动机欠佳;相反地,如果教师能够在这一关键节点讲述一些高中数学知识的文化背景、传授一些高中有别于初中新的数学学习方式,介绍一些基本的思想方法,相信一定能够提高学生数学学习的兴趣,并且数学知识的演进过程、数学家们从错误中不断尝试并最终得到真理的过程也一定能够培养学生面对失败和挫折,永不气馁的品质,并引导学生在高中学习过程中逐步培养数学理性,这些都属于数学学科德育的范畴.

本文主要以数学学科德育视角对高中学段起始课进行设计.

1 高中学段起始课教学设计

开场白;各位新同学,大家好,我姓X,是你们的数学老师,当你们踏进高中的校门,漫步在优美的校园中,我想你们一定会下定决心,争取学好高中的每一门课,叩开理想大学的校门.大家在小学和初中阶段已经接触了不少数学内容,相信大家对于高中数学知识都充满了好奇,和初中相比,高中在数学内容和课程上有些什么不同呢?今天这节课,我想和大家聊一聊为什么要学习数学、高中数学学什么以及如何学好数学这三个问题,相信会对大家的数学学习带来帮助.

1.1 为什么要学习数学

1.1.1 发现数学

一片二片三四片,五片六片七八片.九片十片无数片,飞入梅中都不见——清·郑燮

千里莺啼绿映红,水村山郭酒旗风.南朝四百八十寺,多少楼台烟雨中——唐·杜牧

——这里有没有数学?

图1 北京故宫

图2 向日葵

——这里有没有数学?

班级里至少有两位同学的生日是同一天的概率大吗?

——这里有没有数学?

【设计意图】数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科.数学与现实生活、科学技术、人文艺术息息相关,生活中有很多数学的影子,也可以是数学思考的来源.很多刚刚踏入高中的学生在数学学习中会遇到很多困难,他们要克服知识难度、心理、环境带来的挑战.因此,在学段起始课,引导学生学会用数学的眼光看世界,用数学的思维分析世界,用数学语言表达世界是非常必要的.

1.1.2 用数学语言表达世界

英国数学家德摩根（A.De Morgan,1806-1871）认为,代数学上一般数量关系的发现始于特例.例如; 两个数和的一半减去它们差的一半等于较小的数.首先取8 和6,它们和的一半是7,差的一半是1,相减为6,得到较小数.这样的结论对其他数也是成立的,如23 和10,19 和13 等,我们可以得到:等等.如何表达上述结论对任何一对数都成立呢? 我们将较大数成为第一数,较小数称为第二数,就有:第二数.但是每次写“第一数”“第二数”很麻烦,若用x表示第一数,y用表示第二数,则上面的恒等式可以写成;因此,引入字母表示数以后,能够简洁、准确地表达一个对于任意数都成立的事实.而从特殊到一般,也是高中数学学习的一个很重要的思想方法,需要“大胆猜想、小心求证”.

我们从小学“算术”的纯数字运算阶段,经历了字母表示数的学习,过渡到了初中代数阶段,在某一变化过程中,数值保持不变的量叫做常量,可以取不同数值的量叫做变量.进而经历了“常量”到“变量”的过程,也就是大家熟悉的函数,函数在初中阶段的定义是一般地,在某一变化过程中有两个变量x与y,如果对于的每一个值x,y都有唯一确定的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数.简单地说,在初中用变量之间的依赖关系来描述函数,而到了高中阶段,数学将会进一步抽象,大家课后可以预习一下,高中函数的定义又是什么?思考一下,与初中所学有什么异同呢?

【设计意图】从课程主线的角度来看,代数的学习贯穿了数学学习始终,从“数”到“字母”,从“常量”到“变量”,从“变量说”到“对应关系”,数学知识逐级抽象,因而在学段起始课,渗透知识的发展脉络,对初高中衔接点予以解释和点拨,并激发学生的自学兴趣,对高中生来讲尤为重要.函数也是高中数学知识的重要主题,必修课程中包含函数概念与性质、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数,并用函数理解方程和不等式,这是数学的基本思想方法.在选择性必修课程中,函数与数列、一元函数导数相结合,可以体会数列是一类特殊的函数,是数学重要的研究对象,也在日常生活中有广泛应用;导数是微积分的核心内容之一,是现代数学的基本概念,也是刻画函数的局部变化,研究函数的基本工具.因此,在学段起始课就介绍符号语言、渗透函数思想是非常有必要的.

1.1.3 数学是一门演进的学科,数学是一门严谨的学科

当数学家研究正方形对角线和边长的比值时,诞生了无理数.各位同学很容易就得到了这个比值是.在日常生活中,我们经常和A4 纸打交道,这种纸的国际标准尺寸是210mm×297mm,计算它的长宽比可以得到:,若取两张A4 纸,沿着纸的长边把它们拼在一起,可以看成一张大纸,它的尺寸是:420mm×297mm,它的长宽比为:,可以发现这个比值保持不变,而且与非常接近.这种长宽比为:1 的纸在实际中有什么好处呢?答案是,用具有这种性质的纸张可以在切割中没有碎纸边,避免浪费,降低生产成本.

证明假设是有理数,则可设是既约分数),等式两边平方,可以得到即2q2=p2,因为等式左边是偶数,所以p为偶数,于是不妨假设p=2m,有(2m)2=2q2,整理后得到q2=2m2,易知q也为偶数,这与是既约分数矛盾.从而证明了不可能是分数,同时这一证明也确立了无理数的存在性.

数学是一门严谨的学科,学生不仅要“知其然”,更要“知其所以然”,数学中的推理与证明也是需要深入学习的.

【设计意图】数系的扩充也贯穿在学生整个数学学习过程中,从自然数到分数,进而负数,而后无理数.当然,教学的逻辑顺序与历史顺序有所不同,在历史上,无理数出现于公元前5 世纪,负数最早出现于东汉前期的《九章算术》,也就是说,历史上先有无理数再有负数.

学生在小学和初中阶段,知识的呈现往往是零散的,学段起始课不仅需要将他们零散的知识以某种知识的发生顺序“串”起来,更要引导他们发现知识的演进之处,也就是高中数学知识的切入点、教师概念教学中“引入的必要性”.这为学生更好地学习复数埋下伏笔,学生也能够将复数纳入脑海中已经形成的有关“数”的知识体系.

数学来源于生活,数学知识也广泛应用于生活,通过随手可得的A4 纸,引导学生体会“可触”的无理数.而对是无理数的证明其实也是来源于古希腊人对“不可公度量”的证明,这种证明方法被后来的希腊人称为归谬法（reductio ad absurdum,即“归结到不可能结论”）,也就是我们今天所称的“反证法”.演绎推理、归纳和类比推理都是高中数学课程中重要的推理类型,直接证明和间接证明又是演绎推理中两种重要的证明方法.而初中阶段中的证明题,其实多是用直接证明来解决的,而在高中阶段,反证法作为一种重要的证明方法,用途也相当广泛.学段起始课中,渗透多种证明方式,开阔学生的数学视野,对学生逻辑推理素养的培养帮助巨大.

1.1.4 数学家也会犯错误

英国数学家尼古拉斯·桑德森（N.Saunderson,1682-1739）在他一岁时就因感染上天花而双目失明,但是他克服身体残疾,学习了法语、希腊语、拉丁语和数学.他申请剑桥大学被拒,终身未上过大学,但是因为他巨大的数学成就,乔治二世国王在1728年授予他博士学位.桑德森在剑桥大学当教授期间,用特制的黑板,每天坚持上八小时课,学生们都为他高超的教学技巧而折服,称他为“不用自己的双眼却教会他人如何使用双眼的人”.他在1740年写下的著作《代数学基础》是第一本将分式方程用符号代数语言写入的教科书,书中有一个分式方程的解法:42(x-3)=35(x-2)⇒x=8.接着,作为解题的一部分,他还给出了以上解法的逆过程;x=8⇒7x=56⇒42x-35x=126-70⇒42(x-3)=35(x-2)从上述解法可以看出,尽管桑德森已经意识到解方程是可逆的,但他在方程两边约去或乘以x的做法可以推知,他并没有意识到方程变换过程中的增根和失根的问题,原来历史上数学家也会犯这么“低级”的错误啊.

【设计意图】在数学上,错误、不确定性、怀疑、争议、问题的另类解法不仅是合情合理的,而且也是数学在其发展过程中不可分割的一部分.通过对数学家的介绍和数学家也会犯错误这一实例,学生能感受到历史上数学家对数学的热爱和克服一切困难的勇气,并对其错误表示理解,也让学生了解到数学是一门演进的学科,数学家也会犯错误,进而认识到在高中解题中,犯错误并不可怕,解决问题和错误的过程也是很重要的,要有坚持不懈的信念.

1.2 高中数学学什么

高中数学学习内容分为必修课程、选择性必修课程和选修课程.前两类课程是高考的内容要求,选修课程则为学生提供了不同的发展方向.必修课程分为预备知识、函数、几何与代数、概率与统计和数学建模活动与数学探究活动.这里的函数指的是函数概念与性质、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数.几何与代数则包括平面向量、复数和立体几何初步.在选择性必修中,函数包括数列和一元函数导数,几何与代数包括空间向量和立体几何、平面解析几何.选修课程分为数理类课程,经济、社会、部分理工类课程,人文类课程体育艺术类课程和大学先修课程,为学生的发展提供了不同类型的数学课程,有助于学生的专业发展.在整个课程的学习中,数学文化将融入每一个学习环节.

1.3 如何学好数学?

初中阶段数学知识相对具体,高中阶段数学知识广泛,将对初中的数学知识推广和延伸,也是对初中数学知识的完善,因而需要同学们的积极性、主动性.在学习方法上,初中阶段可能模仿做题较多,高中阶段虽有模仿,但随着知识容量的增大,综合度的提高,仅凭单一模仿是无法学好的,必须要不断思考,锻炼思维,掌握数学的基本思想方法、运用基本活动经验.心理上也要尽快完成初中向高中学习的转变,养成良好的学习习惯,从预习到听讲,从课后反思到作业,都应一丝不苟,从数学家的身上学到不畏艰难、持之以恒的学习品质,这样便能学好数学.

2 对学段起始课的几点思考

起始课又称序言课或绪论课,《辞海》中说,绪者,丝之头.绪论,即开头要讲的话,其内容主要是对该学科或知识进行综合性的概括和介绍,让学生对课程和知识内容有一个总体的、大概的认识,初步了解该学科或知识的教学特点、学习方法和教学的总体安排,有助于学生做好心理预备,更好地投入学习.起始课也可分为三类;一是单元起始课,这里指的“单元”是指独立知识点形成的教学单元;第二类是章节起始课,也就是每一章的第一节课,这两类课程在承接上一单元内容的基础上,对新知识作一个简要的概述,让学生对即将要学习的北荣、结构和思想方法有一个大致的了解.三是学段起始课,也就是进入高中或初中的第一节课,本文所讨论的,就是高中学段起始课.

2.1 构建高中数学的知识蓝图

数学家柯朗在其著作《数学是什么》的序言中写道;“今天,数学教育的传统地位陷入严重的危机.数学教学有时竟变成一种空洞的解题训练.数学研究已出现一种过分专门化和过于强调抽象的趋势,而忽视了数学的应用以及与其他领域的联系.教师、学生和一般受过教育的人都要有一个建设性的改造,其目的是要真正理解数学是一个有机的整体,是科学思考与行动的基础.”因此,学段起始课是对整个高中数学的简要概括,包括知识和方法的介绍,思想和学法的渗透,它构建的是高中数学的知识蓝图.

2.2 突出数学学科德育

实际教学中,由于教学进度安排比较紧张,传统的高中数学起始课,经常由解题代替知识的生成过程,学生往往对新概念、新知识的产生过程一知半解,缺乏对知识产生背景的了解,缺乏数学文化的渗透和数学精神的熏陶,长此以往,学生的数学思维固化,得不到发展.尤其是高中学段起始课,往往被初高中衔接课程取而代之.

现在很多一线教师也慢慢认识到起始课的重要性,但因数学起始课蕴含了很多数学教育的原理,包括培养学生的认识论,方法论,世界观,自然观等,讲什么和如何讲成了很大的问题.笔者认为,认识数学在人类发展中的重要作用,让学生感受学习数学是有用的,也是来源于生活的,可以用数学来解释生活中的现象,是非常重要的.立德树人根本任务的落实,需要落实到每一堂课中,尤其是起始课,更能让学生感受到数学的文化、数学的美、渗透数学思想方法,让学生体会到数学不仅重视方法和技能、更重视理性和精神.因此教师在教学中,不能光顾眼前意义,要重视学生长远利益的发展.在起始课中,尤其应该重视突出数学学科德育.