定理生成顺势而为 核心素养落地生根
——以“直线与平面垂直的判定”为例

江苏省南京市第九中学（210018） 尤荣勇

数学概念、定理等内容是数学的重要组成部分,然而在课堂教学中,不少教师对概念、定理的教学往往轻生成、重应用,对概念引出的必要性、概念的本质及其功能也缺乏深刻的认识,造成学生对基本概念、基本定理只是机械记忆,不求甚解．《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出:高中数学教学以发展学生数学学科的核心素养为导向,启发学生思考,引导学生把握数学内容的本质.人教社章建跃先生认为,数学课堂教学,教者要努力带领学生揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质,抓住学生的最近发展区,因势利导,充分挖掘数学所蕴含的价值资源,力求使数学教育回归到其本来面目,做到“道”法自然,发挥数学的内在力量,为学生的终生发展考虑,实现数学育人的真正目标.前不久我校联合兄弟学校开展了一次“培育核心素养·建构智慧课堂”活动,笔者尝试践行“智慧课堂”教学理念,开设了一节《直线与平面垂直的判定》的研究课,获得好评.现将本节课前后的一些思考整理成文,与同行交流,敬请斧正!

1 问渠那得清如许,为有源头活水来——研读教材、准确定位

研读课程标准标和教材,厘清教材思路是准确把握教学核心与主旨的先决条件.直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况,它是空间中直线与直线垂直位置关系的拓展,又是平面与平面垂直的基础,是空间中垂直位置关系间转化的重心,同时它又是直线和平面所成的角、直线与平面、平面与平面距离等内容的基础,因而它是空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一.对直线与平面垂直的定义的研究应遵循“直观感知、抽象概括”的认知过程展开,而对直线与平面垂直的判定的研究则遵循“直观感知、操作确认、思辨论证、初步运用”的认知过程展开,顺势而为,通过该内容的学习,进一步培养学生空间想象能力和几何直观能力,发展他们的合情推理能力和运用图形语言进行交流的能力,同时体验和感悟转化的数学思想.

2 蝉鬓加意梳,蛾眉用心扫——聚焦素养、架构设计

2.1 复习巩固、知识迁移

师:通过前面的学习,回顾一下,空间中直线与平面有几种位置关系?

生:线在平面内、线面平行、线面相交.

师:我们已经研究了线面平行的哪些内容?怎么研究的?

生:线面平行的定义、判定和性质;将直线与平面平行转化到直线与直线平行进行研究.

师:按照研究顺序我们应该研究到直线与平面相交的关系了,而我们对关系的处理,往往从特殊关系处理起,你认为哪个关系较为特殊?

生:垂直关系.

设计意图数学概念一般来源于实际问题的解决或数学自身发展的需要,在其以定理、法则、公式这些冷冰冰的形式化知识展现的背后,隐藏着原始的、生动活泼的教学思维,因此这节课行针步线的第一步是搭建研究问题的框架顺势而为,这里的“势”表现在研究问题顺序以及研究问题方法的迁移上.

2.2 感知生活、模型抽象

师:你能举出生活中有直线与平面垂直形象的模型吗?

生:电风扇的吊杆与叶轮所在的平面、墙角所在的直线与天花板,课桌的腿与地面……

图1

图2

师:同学们的例子非常好,又如广场上的旗杆与广场（图1）、唐朝诗人王维也有诗云:“大漠孤烟直,长河落日圆”（图2),这些是否都给我们直线与平面垂直得直观形象?请同学们说说看!

生:大漠所在的平面与孤烟所在的直线、广场所在的平面与国旗旗杆所在的直线都给我们直线与平面垂直的形象.

设计意图弄清楚数学概念的来龙去脉是数学教学的重要环节.借助生活经验,力求用数学的眼光观察世界,从数学视角了解生活、渗透人文情感教育和爱国主义教育,提升数学抽象素养.

2.3 小组活动、定义生成

师:你能根据感知形象,给直线与平面垂直下个定义吗?大家先独立思考,再把你的想法和同组同伴交流一下.

小组1 汇报:直线和平面内的一条直线垂直,该直线便和平面垂直.

小组2 反驳:应该是直线和平面内的无数条直线垂直,该直线才和平面垂直.

小组3 反驳:都不是吧,应该是直线和平面内任一条直线垂直,才能得到直线和平面垂直.

师趁势追问:一条直线不够吗?无数条还不够?为什么是和平面任一条直线垂直?

学生就地取材,一支笔所在的直线a与桌面上另一支笔所在的直线b垂直时,直线a的未必能与直线b所在的平面垂直;一支笔所在的直线a与桌面上若干支平行的笔所在的直线垂直时,仍然不能保证直线a垂直于桌面.

师:同学们分析的很有道理！只有当一条直线与平面上任意一条直线都垂直,才能确定直线与平面垂直.真相真是这样的吗?我们不妨借助于广场上的旗杆来分析.旗杆所在的直线与旗杆在地面上影子所在的直线有什么关系?随着太阳的移动,还有这样的关系吗?你能得出什么结论.

生:AB与地面上过点B的影子所在的直线垂直！随着太阳的移动,这样的垂直关系仍然存在.

师:地面上不过点B的直线与直线AB有什么关系?为什么?你能得出什么结论?

生:垂直！将不过点B直线平移转化到过点B,根据异面直线所成角知,与地面上所有直线均垂直,进而旗杆所在的直线与地面垂直.

师:非常好！通过平移转化,将异面直线转化为共面直线,仍然垂直.这样说来,同学们给直线与平面垂直下的定义是合情、合理、科学的.定义的本质是线线垂直（平面上任意的线)推出线面垂直,既是线面垂直的判定又是线面垂直性质.

设计意图数学抽象不是一蹴而就,而应该依赖学生的接受水平和能力逐层升级.克服传统的直接给出定义的做法,从前面感知线面垂直的形象实例,到小组合作自己尝试定义,从不完善到完善,自主探究、自主修正,把课堂交给学生,教师的任务只是谋势而动,实时引导学生将异面直线关系转化为共面直线关系、将线面垂直转化为线线垂直,水到渠成生成直线与平面垂直定义,从而发展学生逻辑推理素养.

2.4 问题驱动、概念辨析

师:同学们对直线与平面垂直有所感悟,不妨借助概念进行辨析一下如下问题:

(1)如果一条直线垂直于一个平面内的所有直线,那么这条直线就垂直于这个平面.（判断正误)

(2)如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线就垂直于这个平面.(判断正误)

图3

(3)右图3中的杂技演员和地面垂直吗?为什么?

设计意图通过辨析,加深对概念的理解,任意一条直线等价于所有条直线,即使平面上有无数条直线也还不足以说明这个平面和直线垂直.对于问题3,判断不难,难的是怎么说明不垂直.任意的反面是只要在平面内找到一条直线与女孩所在直线不垂直,而不是地面上所有直线均不与女孩所在直线垂直.同时,本组问题设计为下面的实验探究,从无限到有限进行铺垫.

2.5 实验探究、建构定理

师:对直线与平面垂直的判定,定义虽好,“所有”难找！找平面上的线“任意”却不能“随意”.能否将定义中的条件弱化一些、少一些呢?每人拿出一块三角形的纸片,做一个实验:过的顶点A 翻折纸片,得到折痕AD(图4),将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触).观察折痕AD何时与桌面垂直(图5)?

图4

图5

通过多次实验操作,小组交流碰撞,汇报结论:当折痕AD与底边BC垂直时,便有折痕AD与桌面垂直.教者再通过几何画板动画展示如下图6,图7,强化实验结论.

图6

图7

学生得出判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,则这条直线垂直与这个平面.直线与平面垂直从直观感知到操作确认,通过学生动手实验归纳总结得出直线和平面垂直判定定理的条件,有助于提升学生的抽象概括能力,同时帮助他们积累数学生活经验.让学生自行完成图形语言和符号语言的“翻译”工作.

设计意图让学生自己动手实验、操作确认、发现理解直线与平面垂直的判定定理是本节课的重点,是本节课的高潮部分.教者这里给学生留了足够的时间让其动手操作、相互讨论,并让其演示.从定义到判定定理显然把条件从所有直线已经“优惠、弱化”到两条直线,但必须要符合”套餐要求”——垂直、相交、在面内.该定理把原来定义中要求与任意一条(无限)直线垂直转化为只要与两条(有限)相交直线垂直就行了,水到渠成,使直线与平面垂直的判定简捷而又具有可操作性！

2.6 学以致用、巩固反馈

师:通过前面的共同研究,得到了判定直线与平面垂直的两个判定方法:定义和判定定理.有了这些依据,我们不妨牛刀小试一下！

例1如图8,已知PA ⊥α,PB ⊥β垂足分别为A,B且α ∩β=l,求证:l ⊥平面PAB.

巩固练习:如图9.在正方体AC1中,求证:AC ⊥平面B1BD.

图8

图9

设计意图课本上例1.要让学生在平面上自己找(作)线,难度较大,于是采用课后习题上的问题,不仅降低了难度,同时也达到了巩固定义和判定定理的作用,练习的配置,起到进一步引导学生进行探索,发展其数学抽象和直观想象素养.

2.7 课堂小结、提炼升华

师:能请你谈谈本节课的收获吗?

生:和研究直线与平面平行相似,我们研究了直线与平面的垂直关系,判定方法.

师:能从内容、思想和方法角度说说吗?

生:一个关系——垂直; 两种判定方法—定义、判定定理;三种转化——-线面与线线、空间与平面、无限到有限.

设计意图改变仅从学习内容方面小结,而加强从数学思想、数学方法角度谈感受,不仅使学生所学知识得到巩固,更重要的是对形成认知结构起到了画龙点睛、启迪智慧的效果.

3 重觅幽香,已入小窗横幅——回顾反思、教学感悟

3.1 数学教学应该遵循学生的认知规律

数学教学首先要理解所教学的内容,理解其内在联系.本节课试图从直线与平面的关系为切入口,把研究直线与平面平行的思路迁移到直线与平面垂直上来,把握概念间的多元联系,挖掘数学概念所蕴含的数学思想、科学研究方法、理性精神.为了使概念生成不突兀,从学生熟悉的直线与平面垂直的模型形象,到自己尝试定义,从不易操作的定义判定线面垂直,到实验尝试“套餐”式的判定定理判定线面垂直,从线与面的关系转化到线与线的关系,都从学生的最近发展区出发,符合学生的认知规律,既让学生领悟了概念形成过程,又发展了他们的逻辑思维能力,使他们在掌握数学知识、学会数学思考的过程中,善于认识问题、解决问题.

3.2 数学课堂应关注问题所承载的思想方法

日本数学家米山国藏在他的著作《数学的精神、思想和方法》一书中说道:“不管他们(指学生)从事什么业务工作,即使把所教给的知识(概念、定理、法则与公式等)全忘了,惟有铭刻在他们心中的数学精神、思想和方法都随时随地地发生作用,使他们受益终生.”可见数学思想方法的获得对学生的发展意义重大,是学生可以持续发展的法宝！本节课以转化思想为主线贯穿了整节课,从新课引入开始,就渗透线面平行的研究思路转化到线面垂直的研究思路,在尝试定义时,把异面垂直转化为共面直线垂直,从定义到判定定理的过渡,实现了从无限到有限的转化,以及线面与线线垂直的相互转化,从而达到了把握知识本质和内在规律,提高数学素养,发展思维能力.课堂上学过的知识可能会忘记,而知识中承载的数学思想方法却是其后续学习中有用的东西.学生领悟了数学思想方法,即使忘了数学知识,还可以用数学的眼光去研究类似问题、将未知知识变为已知的知识、将杂乱的内容变得有规律可循.

3.3 小组合作调控要到位,该放手要放手

本节课在直线与平面垂直的定义生成和建构判定定理时采用了小组合作形式。在课堂的实际效果来看,有些小组仅仅是学优生的学习,例如在折纸实验过程中,探究折痕何时垂直桌面时,有些学优生直接将自己的结论告知还正在折叠探究的同学,甚至有个别学生坐等结论,笔者感到还是在调控课堂上做的不到位,应该先强调个体思考,经过独立充分思考后,再让他们进行思维碰撞。另外在生成定义时,发现一支笔所在的直线与桌面上若干支平行的笔所在的直线垂直时,不能保证笔所在的直线与桌面垂直,便采用一问一答式的问题串形式,笔者感到这里还是牵着学生走,放手不够,这时不妨再抖个“包袱”给学生:“你能通过广场的旗杆所在的直线和其地面上其移动的影子来说明小组2 下的定义是正确的吗?”.总之,在以后的教学实践中将继续探索,有意识的建构符合学生认知特点的合作学习方式,让每位学生既能独立思考,又能及时全员参与,在互动中进行思维碰撞,互帮互学,增强合作意识,践行立德树人,使数学学科核心素养能真正落地生根.