基于核心素养下中学数学教学中数学思想方法的渗透

广东省汕头市翠英中学(515041) 王炜煜

1 问题的提出

数学是研究数量关系和空间形式的科学.数学与人类发展和社会进步息息相关,随着现代信息技术的飞速发展,数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面.它作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具,不仅是自然科学和技术科学的基础,而且在人文科学与社会科学中发挥着越来越大的作用.因此,提高中学生的数学学科核心素养,对于培养新世纪人才意义深远.

当前,数学教学改革和发展的总趋势就是发展学生的思维能力,培养学生的数学学科核心素养.因此,要达到这一目标,教师的教学就必须渗透数学思想方法,培养学生学会运用数学思想方法解决和处理数学问题,提升学生的数学学科核心素养.

2 基本概念的界定

数学思想是对数学知识的本质认识,是对数学规律的理性认识,是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点.它在认识活动中被反复运用,带有普遍的指导意义,是建立数学和用数学解决问题的指导思想.中学阶段的数学思想主要有:数形结合思想,函数和方程思想,分类讨论思想,集合对应思想,转化思想,化归思想,逻辑思想等.数学方法是指从数学角度提出问题、解决问题的过程中所采用的各种方式、手段、途径等.中学阶段常用的求解方法有:配方法、消去法、换元法、待定系数法、归纳法、坐标法、参数法、构造法、数学模型法等.中学阶段的重要推理方法有:综合法与分析法、完全归纳法与数学归纳法、演绎法、反证法与同一法.它们相互联系,相辅相成,共同构成数学思想方法主体内容.

数学核心素养是基于数学知识体系,能够运用数学思想方法研究问题的能力,即“用数学的眼光观察世界,数学的语言表达世界,用数学的思维分析世界”的能力,同时,用这种能力不仅是操作性能力,更有着数学的观念、意识、精神的浸润.基本成分有:数学抽象、运算能力、推理能力、数学建模、数据处理、空间能力、问题解决能力、数学文化品格等.

3 基本原则

在进行数学思想方法的渗透时,必须遵从在实践中探索的要求,以渗透性原则为主线,结合落实反复性、系统性和明确性的原则(如图1),不断渗透进行.

图1

4 实践与探索

2017年2月,笔者试图从新的教育理念出发,通过进行数学思想方法的渗透,提升学生的数学学科核心素养.经过积极的探索,已取得一定的成效.

4.1 在课堂教学中渗透数学思想方法

数学思想方法隐含在数学知识体系里,是无“形”的,而数学概念、法则、公式、性质等知识都明显地写在教材中,是有“形”的.作为教师首先要改变应试教育观念,从思想上不断提高对渗透数学思想方法重要性的认识,把掌握数学知识和渗透数学思想方法同时纳入教学目的,把数学思想方法教学的要求融入课堂教学中.

4.1.1 基础知识的教学,适时渗透数学思想方法

在基础知识的教学过程中,要注意知识的形成过程,特别是定理、性质、公式的推导过程和例题的求解的过程.基本数学思想和数学方法都是在这个过程中形成和发展的,基本数学技能也是在这个过程学习和发展的,数学的各种能力也是在这个过程中得到培养和锻炼的,数学思想和数学观念也是在这个过程中形成的.

(1)重视概念的形成过程

概念是思维的细胞,是感性认识飞跃到理性认识的结果.而飞跃的实现要经过分析、综合、比较、抽象、概括等思维的逻辑加工,需依据数学思想方法的指导.因而,在概念教学中应当完整地体现这一过程,引导学生揭示蕴藏于概念之中的思维内核.

如在高一新教材数学第一册(上)第二章函数中,有关函数的单调性的知识是渗透数形结合思想的最好材料.例如:函数f(x)在区间A上是增函数或减函数可直观地用图2,3示意:

图2

图3

通过图象的直观性,可使学生深刻理解函数的单调性,也使学生对增函数、减函数的定义有更加明确的认识.

(2)引导学生对定理、公式的探索、发现、推导的过程

在定理、性质、法则、公式、规律等的教学中,要引导学生积极参与这些结论的探索、发现和推导过程,在数学思想方法渗透引领下,弄清每个结论的来龙去脉,最后引导学生归纳得出结论.如在高一新教材数学第一册(上)第三章数列中,教师要不失时机地引导学生观察发现数列是特殊的函数.例如:关于等差数列,由通项公式和求和公式可以看出:an和Sn都是n的函数.当d/=0 时,an是n的一次函数,Sn是n的二次函数.因此可以用一次函数和二次函数的有关知识来解决等差数列的通项公式和前项和等问题.同时,我们知道:函数的图象是函数的灵魂.教学时借助图形的直观,引导学生清楚认识到an=a1+(n-1)d的图象是一条直线上的点,的图象是一条抛物线上的点,顺利掌握相关的等差数列问题.

4.1.2 复习小结的教学,揭示、提炼和概括数学思想方法

由于同一内容可蕴含几种不同的数学思想方法,而同一数学思想方法又常常分布在许多不同的知识之中.及时在复习小结时进行强化,让学生在脑海中留下深刻的印象.这样有意识、有目的地结合数学基础知识,揭示、提炼和概括数学思想方法,既可避免单纯追求数学思想方法教学欲速则不达的问题,又明快地促使学生的认识从感性到理性的飞跃.

如在初中九年级“二次函数”这一章中,体现了函数与方程、等价转化、分类讨论等重要的数学思想,以及待定系数法、配方法、换元法、消元法、猜想、归纳、证明等基本的数学方法,复习小结时可结合知识点和典型例题强化训练.

4.2 解题中渗透数学思想方法,提高学生的数学素养

解题的过程实质上是在“化归思想”的理念下,合理联想,运用相关的数学思想方法进行加工、处理题设条件和知识,逐步缩小题设和结论间的差异过程.解题中运用数学思想方法进行分析、解决问题,可以开拓学生的思维空间、优化解题策略.

例1求函数的最小值.

分析观察式子特点,从代数的角度求解,思维受阻.这时可利用数形结合为转化手段,引导学生探索函数背后的几何背景,巧用两点间距离公式,把问题转化为:令(0,1),(2,2),(x,0),分别为点A,B,P的坐标则问题转化为在x轴上找一点P,使|PA|+|PB|有最小值.由A,B在x轴同侧,故取点A关于x轴的对称点C(0,-1),当P在BC上时,有(|PA|+|PB|)min=|CB|.可见,通过渗透数形转化思想,激活了学生的思维,培养学生的建构数学模型的能力.

例2设的值.

分析本题若直接求解,无从下手.若能利用特殊与一般相互转化的思想方法,引导学生观察式子数量特征:将问题转化为研究函数的结论特征,得出f(a)+f(1-a)=1,利用这个结论原题易于求解.可见,渗透特殊与一般的相互转化的思想方法,可以使学生的思维豁然开朗,轻松解答问题.

例3若不等式(lgx)2-(2+m)lgx+m-1＞0,对|m|≤1 恒成立,求x的取值范围.

分析:学生因受思维定势的影响,常把原不等式视为关于的二次不等式,用分类讨论解答,过程相当复杂.如能引导学生注意到lgx与m的关系,适当渗透常量与变量的转化思想,把m变为主元,lgx变为参数,则原不等式可转化为关于m的一元一次不等式问题.再引导学生联想函数、方程、不等式的相互关系,构造函数f(m)=(1-lgx)m+[(lgx)2-2 lgx-1],把问题转化为常规问题:f(m)＞0 对|m|≤1 恒成立,求x的取值范围,简单易解.

可见,在解题教学中若能恰当渗透数学思想方法,既可以开拓学生的思维空间,又能优化学生的思维品质,更能提高学生的解题能力.

4.3 在基础知识的复习过程中,渗透数学思想方法,丰富学生的数学知识内涵

为了在基础知识的复习过程中获得更高的复习效果,教师不仅要对复决内容进行研究,潜心挖掘,而且还要讲究思想渗透的手段和方法.

4.3.1 在基础知识的复习时,应注意揭示、总结其中蕴含的数学思想方法

如:在复习指数函数和对数函数的性质时,应注意揭示底数分为和两种情况,其中蕴含了分类讨论思想;利用观察图像得出性质及相互关系,其中渗透了数形结合和类比思想.可见,通过对思想方法的揭示、总结,使学生充分领悟到数学思想方法普遍存在于基础知识之中,若能持之以恒,不断渗透,将能不断丰富学生的数学知识内涵.

4.3.2 适当渗透数学思想方法,优化思维结构

在梳理基础知识时,充分发挥思想方法在知识间的联系、沟通中的“桥梁”作用,帮助学生合理构建知识网络,不断深化学生对知识的理解和整合,久而久之,学生的认知结构和思维结构将不断得到优化.如:在初中中考进行“函数、方程、不等式的相互联系”复习中,可以利用函数思想,把方程和不等式分别当成函数值等于零,大于或小于零的情况,通过联想函数图像,提供方程、不等式解的几何意义,运用转化和数形结合的思想,使孤立的三块知识模块相互联系、相互转化.

4.4 开设专题讲座,激发提升对数学思想方法的认识,提高对数学思想方法的驾驭能力

数学知识和数学思想方法都具有系统性,对它们的学习和渗透是一个循序渐进的过程.在中、高考复习时,可以有目的地开设数学思想方法的专题讲座,以中学数学中常用的数学思想方法为主线,把中学数学中的基础知识有机的结合起来.让学生深刻领悟数学思想方法在数学中的支撑和统领作用,进一步完善学生的认知结构,提高学生的数学能力.

如:以函数思想为主线,可以串连代数、三角、解析几何的大部分知识.其中,方程可以看成函数值为零的特例;不等式可以看成两个函数值的比较大小;三角可以看成一类特殊的函数(三角函数);解析几何可以看成隐函数,曲线可视为函数的图形;导数可作为研究函数性质的主要工具,等等.

事实证明,在教学过程中重视数学思想方法的渗透,可以深化学生对基础知识的理解,进一步完善学生的认知结构,优化学生思维品质,提高学生认识问题,解决问题的能力,提高学生的数学素养.

总之,数学学习过程是一个数学认知结构的发展变化过程,数学思想方法不仅提供思维策略,而且提供实施目标的具体手段.教学时,积极进行数学思想方法的渗透,将极大地促进学生的数学学科核心素养的发展与提升.对于中学生而言,不管他们将来从事什么工作,唯有深深地铭刻于头脑中的数学思想方法将随时随地发挥作用,使他们受益终生.