数学反思性教学行为的案例研究
——以求解椭圆离心率问题为例

南京航空航天大学附属高级中学 (210007) 吴 茹 孔德鹏

本文系南京市教育科学“十三五”规划2018年度课题“核心素养视角下高中数学主题教学的实践研究”(L/2018/341)阶段成果.

1.引言

反思性教学是指将各种反思性思维方式用于教学活动的教学模式,是教师与学生通过反思性的思维活动进行教与学的过程.反思性数学学习是学习者对自身数学学习活动的过程,以及过程中涉及的有关事物的特征进行反向思考,从而拓宽思路,举一反三,触类旁通,推广引申,扩大视野,深化理解,完善知识结构[1].数学学习内容较为抽象,学生只有在经历多次练习与反思才能真正把握其数学本质,所以反思性教学是非常重要的教学环节,而在目前的数学教学过程中,反思性教学也正是比较薄弱的环节.

2.案例探究

反思1:在上述计算过程中出现kPM·kPN=

分析:本题所求离心率取值范围,通过已知条件,寻找a,b,c三者之间的不等关系,切入点是椭圆上存在一点P,使PF1⊥PF2,直线垂直可转化为向量垂直,用坐标法建立关系.

图1

分析:本题题意理解起来相对容易,入手简单,但是在求对称点Q比较困难,接下来再将复杂的Q点带入到椭圆方程中运算更大,计算更复杂,学生容易半途而废或者浪费大量时间而计算错误.

解:设Q(m,n),由题意可知,

反思1:通过以上解法,虽然可以得到答案,但是涉及到求点关于线的对称点,并且需要将复杂的对称点坐标代入椭圆方程,而且涉及到解高次方程,这里面计算量大,计算过程难复杂、易错,需要花费很多时间解决此题,用这种方法解决此题有些得不偿失,在考试过程中你会使用这种方法吗?可以换种解法吗?(反诘)——不会,可以试试看,寻找更好的想法.

图2 图3

3.数学反思性教学的几点思考

3.1 反思起点——对读题、审题的过程反思

杜威曾说过:理解了题意,问题就解决了一半.很多学生找不到解题思路的根本原因是审题这一环节出现问题.解题的反思性教学是学生正确审题的重要途经.解决一道题目必不可少的一个环节是反思检验,首先要反思的就是对题意的理解.引导学生看题,思考是否遗漏了什么重要信息,为什么会遗漏,如何补救;思考其中对于哪一个条件理解不清,为什么会理解不清,怎样理解会更好;思考题设条件与所求目标之间有哪些联系没有发现,联系的转化是否有问题,是什么原因导致的;反思自己在审题过程中是否还要其他偏差,原因是什么等等.如经过对例2中条件PF1⊥PF2,再认识,我们这样理解会更好:因为直径所对的圆周角为90°,所以点P在以F1、F2为直径的圆上,直接通过交轨法解决问题.

3.2 反思根本——对相关知识点及方法反思

在数学教学过程中必然要与已学的知识点及方法有联系,反思与哪些问题有联系,有什么样的联系,是考察知识点有联系,还是所用基本方法有联系,还是问题的结论有联系.所有的联系能否概括出某种规律或经验,经过这样的联系对原问题是否有新的认识.在例1的解题过程中,发现一条关于椭圆的性质,教师帮助学生将这条性质进行总结,那么在以后遇到类似问题时,学生会迎刃而解.通过对知识点及方法的反思,让学生学会举一反三,对前后知识、各类问题、各种方法达到触类旁通的境界.

3.3 反思关键——对推理运算过程反思

对推理运算过程反思的目的是对解题过程的优化,就是在完成了某个数学活动后,对活动思维的合理性、推理的严谨性、运动的正确性、表述的简洁性及书写的规范性等进行反思、修改、缩减、概括,总结.经过长期训练,逐步提高学生用简缩的思维结构进行思考的能力.在例3的处理上,如果直接使用代数法,运算量大,容易出错,此时笔者利用之前一道类似题目对学生进行正确引导,进而合理优化解题路径,提升学生简缩的思维习惯.

总之,学生的反思性数学学习的形成,离不开教师的示范与引导.教师在教学过程中正确运用反思性教学模式,引导学生敢于反思、勤于反思、善于反思,让学生逐步形成一种反思的意识和习惯,有利于学生学会思考和思维品质的提升.