例谈各类距离模型的妙用

浙江省杭州高级中学 (310021) 张 睿

距离模型是中学阶段常见的模型之一,包括绝对值几何意义、两点间距离、点到线的距离及向量中的模长等问题.本文结合具体实例谈谈根据各类距离模型的特征，通过换元法、配方法等方法将最值问题转化为相应的距离模型，进而利用图像解决.在解决问题的过程中渗透函数思想、数形结合思想、转化与化归思想；同时也发展了数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算核心素养.

模型一：数轴上a,b两点的距离|a-b|

绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，用“||”来表示.|a-b|的几何意义是数轴上表示a的点和表示b的点的距离.这里的a,b即可以看成常数，也可以理解为与其他变量相关的函数.

图1

分析：本题涉及绝对值差的形式，将|f(t+2)-f(t)|=|2a(3t2+6t+4)-2|，通过换元法，令m=3t2+6t+4，则|2am-2|转化为数轴上两点的距离问题.

图2

模型二：P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点间的距离

图3

图4

(Ⅰ)求直线AP斜率的取值范围；

(Ⅱ)求|PA|·|PQ|的最大值

把两点看成向量的起点与终点，那么向量的模长就两点间的距离.而向量的加、减、数乘运算可以得到新的向量，得到新向量的模长，因此距离问题又可以和向量运算紧密结合，渗透化归思想，数形结合思想等数学思想.

图5

图6

点到直线的距离模型中出现关于x0,y0的二元一次式套绝对值形式；另外设Q是直线l上任意一点，则点P0到l的距离可以理解为|P0Q|的最小值.

图7

图8

数学模型是数学抽象的表现形式，通过对具体数量关系与空间形式的分析形成反映数学本质特征的模型.由上可知，若能熟悉各类距离模型的本质特征及它的变化特点，可以将函数中的绝对值问题、解析几何中的长度问题、向量模长问题转化距离问题形象直观的解决，从而实现化繁为简的目的.