“一分为二”破解函数问题

安徽省砀山中学 (235300) 盖传敏

近年来的高考试题和模拟试题中，常常出现初等函数的复合型函数问题，试题结构新颖，内容丰富.在教学中，笔者发现，若能根据函数式的结构特征，将函数“一分为二”，即构造两个新函数，然后借助数形结合、分类讨论等数学思想来处理，常能化难为易，让人感到耳目一新.下面结合实例予以说明.

A.(-∞,0)B.(-∞,0)∪(2,+∞)

例2 (2019皖南联考)等比数列{an}中，a1=2,a8=4，函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8),则f(0)=( ).

A.26B.29C.212D.216

分析:构造函数g(x)=x,h(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-a8)，则f(x)=g(x)·h(x),f(x)=g(x)h(x)+g(x)h′(x)=h(x)+xh′(x)，所以f′(0)=h(0)=(-a1)(-a2)…(-a8)=(a1a8)4=216，故选D.

点评:直接对函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8)求导难度较大，若根据函数式的结构特点将f(x)“一分为二”，即构造函数g(x)=x,h(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-a8),则f(x)=g(x)·h(x),然后利用两个函数之积的求导公式求解.

例3 (2017年新课标Ⅱ理21)已知函数f(x)=ax2-ax-xlnx，且f(x)≥0，求实数a的值.

分析:由题意可知，函数f(x)的定义域是(0,+∞)，所以f(x)≥0等价于ax-a-lnx≥0，即lnx≤ax-a，构造函数h(x)=lnx,g(x)=ax-a，则问题转化为函数y=h(x)图像恒在直线y=g(x)的下方.由于函数y=h(x)和直线y=g(x)均过点(1,0),所以直线y=ax-a必是曲线y=h(x)在点(1,0)处的切线，因此a=h′(1)=1.

点评:如果利用分类讨论求解，过程繁琐，此时若将不等式f(x)≥0“一分为二”，即构造函数h(x)=lnx,g(x)=ax-a，则不等式f(x)≥0可转化为h(x)≤g(x),由图像易知，直线y=ax-a为函数y=h(x)在点(1,0)处的切线.

(1)求a,b的值；

分析:(1)a=1,b=1.

高考题和模拟题往往具有代表性、典型性和示范性，教学中应重视对典型试题解法进行探究，可深化学生的思维层次，提高学生的解题水平.