需求受销售价格与变质时间影响的时滞变质品供应链协调研究

张云丰，王 勇，龚本刚，但 斌

(1.安徽工程大学管理工程学院，安徽 芜湖 241000；2.重庆大学经济与工商管理学院，重庆 400030)

1 引言

现实生活中，有些物品在库存持有期间会由于腐蚀、干燥、损坏、汽化和蒸发等原因导致自身数量、质量或使用价值方面产生损耗，具有此类特性的物品通常被称为变质品，如水果、蔬菜、药品、食品、电子类消费品、时尚服装、易挥发的化学品等[1]。Ferguson和Ketzenberg[2]的调查结果显示商品在销售环节由于变质或损耗造成的损失比例约15%，吴庆等[3]指出中国的果蔬产品从采摘到消费者手中的平均损耗率高达25%～30%。统计数据表明，水果、蔬菜等食品在运输过程中腐烂变质导致的价值损失每年就超过700亿元。因此，变质品的研究意义重大，众多学者对变质品领域开展了深入研究。

Ghare和Schrader[4]假定需求确定及变质率服从指数分布，首次讨论了变质品的库存问题。随后，国内外学者分别从不同的假设条件，如需求函数的设置、变质率服从的分布函数、补货速率及是否允许缺货等方面，对Ghare和Schrader[4]的变质品基本库存模型进行了拓展研究。上述研究文献大多默认研究对象自进入销售商持有状态便开始变质。Wu Kunshan等[5]认为许多变质品进入库存系统后，会继续保持原有特性一段时间后才发生变质现象，并定义具备这类特性的物品为“时滞变质品”。Ouyang Liangyuh等[6]研究了允许零售商延迟支付情形下需求确定且无缺货的时滞变质品库存问题。Chang等[7]考虑存储货架空间的实际约束，建立利润最大化目标下的时滞变质品最优补货模型。Soni[8]将文献[7]的假设条件进一步拓展到需求水平依赖价格和库存量且允许延迟支付。Maihami和Abadi[9]则构建了需求受销售价格与时间影响、存在缺货及允许延迟付款的库存模型。Shah等[10]认为需求率受商品广告和市场价格影响，在此基础上通过决策最优库存水平和营销参数来达到最大利润。Chung等[11]考虑了核心企业上下游都存在延迟支付且变质率服从指数分布的三级时滞变质品供应链EPQ模型。Zhang Jianxiong等[12]研究了需求水平受价格和陈列量影响的时滞变质品动态定价和补货问题。Tiwari等[13]探讨了需求确定时企业自有仓库与租赁仓库并存下交易信用与通货膨胀对时滞变质品补货决策的影响。董坤祥等[14]假定时滞变质品的市场需求率不变，在允许缺货和考虑资金机会成本情况下，建立供应商和零售商分别作为博弈领导者的Stackelberg模型。李贵萍等[15]研究了需求依赖于库存水平、变质率时变的时滞变质品库存策略设计问题。

基于上述文献的分析发现，时滞变质品的需求主要受销售价格、库存水平、持有时间及广告力度等因素影响。对于超市中出售的部分时滞变质品，由于储存技术的改善，在时滞期内的需求受时间影响并不明显，消费者更多的关心产品的价格。只有当时滞变质品进入变质期以后，消费者观察到发生变质现象，如蔬菜水果的腐烂，才会减少对产品的需求，并且随着销售时间的持续，变质现象越来越严重，消费者的需求也逐渐减少。因此，在刻画时滞变质品需求函数时，将需求描述为受变质时间影响更为准确。

传统供应链中各成员企业往往独立决策，由于双边际效应的存在降低了供应链的整体绩效。面对当今社会激烈的市场竞争环境，传统的供应链结构已不能与之相适应。供应链中各参与方若肯彼此相互合作，实施集中决策将能够有效提升供应链绩效。然而，集中决策在优化渠道利润的同时，却不能保证各参与方的利润都大于分散决策情形，且利润分配问题不易解决。这时，选择有效的协调机制对供应链及时进行协调则非常必要，而数量折扣契约是实践中常用且有效的协调方式之一，相比其它供应链契约而言简单且易操作，目前被广泛应用于一般物品及即时变质品供应链的协调[16-23]。许甜甜和肖条军[24]首次应用数量折扣契约来协调时滞变质品供应链。与文献[24]不同的是，本文假定在时滞变质品的时滞期内，消费者的需求仅与产品的销售价格相关，而只有当产品进入变质期以后，市场需求才同时受销售价格和变质时间的共同影响。在此基础上，分别建立分散决策与集中决策下的时滞变质品供应链定价与补货模型并进行比较，然后引入数量折扣契约对时滞变质品供应链加以协调。

2 基本假设与符号说明

2.1 基本假设

本文建立时滞变质品供应链协调模型基于以下基本假设：

(1)两级时滞变质品供应链由单个生产商和单个销售商组成；(2) 销售商的订货周期为单位时间；(3) 时滞变质品在生产商处不发生变质；(4) 生产商在销售商的每个订货周期内只生产一次；(5) 订货提前期为零，不允许缺货，瞬时补货；(6) 时滞变质品在销售商持有期间经历时滞期和变质期两个阶段；(7) 变质的时滞变质品被及时处理，不占有库存，但需承担处理成本，且残值为零；(8) 时滞期的需求是销售价格的函数，变质期的需求受销售价格及变质时间共同影响；(9) 生产商对销售商的需求有完全信息，销售商对生产商的成本结构有完全信息。

2.2 符号说明

本文建立时滞变质品供应链协调模型中使用的参变量及释义如下：

销售商：

D—时滞变质品的市场需求率，D=D(p,t)；

td—时滞变质品发生变质的时间点，0≤td≤1；

θ—时滞变质品的恒定变质率，0≤θ≤1；

p—时滞变质品的销售价格；

hr—时滞变质品在销售商处的单位库存成本；

g—时滞变质品的单位变质处理成本；

kr—销售商的单次订货成本；

Q—销售商的订货数量；

I1(t)—时滞期内任意时刻t的库存水平；

I2(t)—变质期内任意时刻t的库存水平；

Πr—销售商的预期利润。

生产商：

R—时滞变质品的生产速率；

t0—时滞变质品的生产时间，0≤t0≤1；

ω—时滞变质品的单位批发价格；

c—时滞变质品的单位生产成本；

hs—时滞变质品在生产商处的单位库存成本；

ks—生产商的单次生产准备成本；

Πs—生产商的预期利润。

供应链：

Πsc—时滞变质品供应链的预期利润；

φ—数量折扣契约中订货批量增量系数；

ρ—数量折扣契约中批发价格折扣系数；

其中，p、ω、Q、t0为决策变量。

3 模型

时滞变质品一个完整的订货周期包括时滞期和变质期两个阶段。其中，时滞期内物品保持原有特性，不发生变质，在需求的影响下库存量逐渐减少；变质期内物品持续变质，库存量在需求和变质的双重作用下一直下降到零。通常，对于许多时滞变质品发生的变质现象，消费者可以通过肉眼直接观察到并作出判断，如果蔬类产品的腐烂及其变质程度。因此，可以认为时滞变质品在变质前的需求率只受市场价格影响，而一旦时滞变质品发生变质则其需求率就取决于市场价格和变质时间的共同影响。综合上述分析，建立需求率依赖于价格和变质时间的需求函数如下：

其中：a为市场总潜在需求，b为需求对价格的敏感系数，λ为需求对变质时间的敏感系数，a、b、λ>0。

时滞变质品在时滞期内任意时刻t的库存水平I1(t)满足如下微分方程：

(1)

解得

I1(t)=Q-(a-bp)t，0≤t≤td

(2)

时滞变质品在变质期内任意时刻t的库存水平I2(t)满足如下微分方程：

(3)

解得：

(4)

结合I2(td)=I1(td)可知销售商每个周期的订货数量为：

(5)

生产商的生产时间满足：

(6)

3.1 分散决策

销售商与生产商进行分散决策时，销售商在一个订货周期内的成本由订货成本、采购成本、库存成本及变质处理成本四部分组成。其中：

(1)订货成本

TC1=kr

(2)采购成本

TC2=ωQ=ω(a-bp)A

(3)库存成本

(4)变质处理成本

销售商在一个订货周期里的销售收入为：

销售商的预期利润等于销售收入减去订货成本、采购成本、库存成本与变质处理成本，即为：

Πr=TR-TC1-TC2-TC3-TC4=p(a-bp)M-ω(a-bp)A-hr(a-bp)B-g(a-bp)C-kr=(a-bp)(pM-ωA-hrB-gC)-kr

(7)

生产商的预期利润等于销售收入减去生产成本、库存成本与订货成本，即为：

(8)

其中，TC2、TC3、TC4、TR及Πs表达式的推导过程见附录A。

在分散决策系统中，时滞变质品供应链的参与者生产商和销售商分别通过他们可以控制的决策变量来最大化各自的利润。在博弈的第一阶段由生产商选择时滞变质品的批发价格ω来最大化自己的利润，然后在博弈的第二阶段由销售商确定时滞变质品的销售价格p和订货数量Q来实现自身利润最大化。由逆向归纳法可以得到Stackelberg博弈的子博弈纳什均衡，均衡结果由命题1给出。

命题1 在分散决策下，生产商存在最优批发价格ω*使得自身预期利润最大化：

ω*={2RM(aM-bhrB-bgC+cbA)+hsbA2(aM-bhrB-bgC)}/bA(4RM+hsbA2)

销售商存在最优销售价格p*使得自身预期利润最大化：

将销售商的最优反应函数p(ω)代入生产商的预期利润函数Πs，得到

以上式对批发价格ω求二阶导数，得

因此Πs有最大值存在。求预期利润函数Πs关于销售价格ω的一阶导数并令其等于零，有

解得生产商的最优批发价格为：

ω*={2RM(aM-bhrB-bgC+cbA)+hsbA2(aM-bhrB-bgC)}/bA(4RM+hsbA2)

将ω*代入p(ω)可得到销售商的最优销售价格为：

命题1得证。

在分散决策下，销售商的订货批量Q*为：

Q*=(a-bp*)A

生产商的生产时间为：

生产商的预期利润为：

销售商的预期利润为：

在分散决策下，时滞变质品供应链的预期利润为：

3.2 集中决策

在销售商与生产商采用集中决策时，系统需要决策最优的销售价格，使得整个时滞变质品供应链的预期利润最大化。集中决策下时滞变质品供应链的预期利润函数表示为：

(9)

由式(9)可得下列命题2。

命题2 在集中决策下存在唯一最优的销售价格

使得时滞变质品供应链的预期利润最大。

证明：对时滞变质品供应链的预期利润函数Πsc求销售价格p的二阶导数，得到

命题2得证。

在集中决策下，销售商的订货批量Q**为：

Q**=(a-bp**)A

生产商的生产时间为：

在集中决策下，时滞变质品供应链的预期利润为：

3.3 两种决策模式比较

将分散决策与集中决策下销售商的最优销售价格p、订货批量Q及时滞变质品供应链的预期利润Πsc进行比较，易得如下命题3。

命题3 比较两种决策模式，满足

具体推导过程见附录B。

命题3中(1)表示集中决策下时滞易变质品的销售价格要比分散决策下低，而(2)式表示集中决策下时滞易变质品的订货批量高于分散决策下的订货批量，(3)式说明集中决策下的时滞易变质品供应链系统预期利润更高。命题3的经济含义很明显，生产商和销售商通过相互合作(集中决策)来进行联合定价，使得时滞易变质品最优销售价格降低，引起市场需求量增加，并且需求量增加的幅度高于销售价格降低的幅度，使得整个时滞变质品供应链的预期利润增加。同时，由于销售价格的降低，消费者也从中受益，整个社会福利进一步得到提升。

4 数量折扣契约

4.1 数量折扣协调

要想实现集中决策下的订货批量和销售价格水平，生产商必须设计协调机制，给予销售商一定的批发价格补偿。数量折扣合同由于其简单的可操作性而成为实践中最常用的供应链协调契约[25]。对整个时滞易变质品供应链系统而言，销售商的订货数量和生产商的批发价格属于内生变量，可以采用折扣的形式进行调整。生产商向销售商承诺，若销售商将订货数量调整为分散决策下最优订货数量的φ倍，将仅向销售商收取分散决策下批发价格的ρ倍。数量折扣契约实现的前提是，采用数量折扣契约后，销售商和生产商的预期利润都不得小于分散决策下的预期利润。由于销售商的订货批量与生产商的生产时间存在一一对应关系，因此可对生产时间加以考虑。实施数量折扣契约协调时，时滞变质品供应链需满足的条件表示为：

该式可进一步表述为命题4。

命题4 在时滞变质品供应链中，生产商接受数量折扣契约的条件是

销售商接受数量折扣契约的条件是

证明：生产商接受数量折扣契约的条件等同于

解得：

销售商接受数量折扣契约的条件是

解得：

若经过协调后，零售商的订货量调整到集中决策下的最优订货量水平，则时滞变质品供应链系统达到最优，此时数量折扣契约中订货批量增量系数φ*满足

4.2 预期利润增量分配

其中，φ1和φ2依次为生产商和销售商的相对风险规避系数，φ1，φ2>0且φ1，φ2≠1；ΔΠs和ΔΠr分别表示生产商与销售商从预期利润增量中分享的份额，满足ΔΠs+ΔΠr=ΔΠsc。令生产商与销售商的讨价还价能力权重分别为σ1和σ2(σ1+σ2=1)，根据纳什讨价还价理论，制定预期利润增量分配规则如下：

(10)

s.t. ΔΠs+ΔΠr=ΔΠsc

(11)

假设生产商和销售商都是风险中立者，具有相同的风险规避系数φ，即φ1=φ2=φ。时滞变质品供应链系统效用最大化的均衡条件为：

因此，在在数量折扣契约协调下，生产商的预期利润为：

(12)

销售商的预期利润为：

(13)

同时，得到命题5如下。

命题5 在数量折扣契约协调下，最优的批发价格折扣系数为：

证明：采用数量折扣契约进行协调时，供应商的预期利润为分散决策下的预期利润与分享的利润增量之和，即

化简后即可得到

命题5得证。

5 数值算例

5.1 算例参数设置及求解

在由单一生产商和单一销售商组成的两级时滞变质品供应链中，默认参数的取值为：a=40千克，b=2千克2/元，c=2元/千克，g=1元/千克，hr=0.2元/(千克·天)，hs=0.1元/(千克·天)，R=20千克/天，kr=5元/次，ks=5元/次，td=0.2，θ=0.2，λ=0.5，φ=0.5，σ1=0.6，σ2=0.4。

5.2 敏感性分析

下面分别考察时滞变质品的特性参数变质率θ、时滞期td及需求对变质时间敏感系数λ发生变动时对数量折扣契约协调结果所产生的影响。

表1给出了变质率θ在0.00～1.00之间变化时对决策变量产生的影响。随着变质率的逐渐增加，一个订货周期内发生变质的物品数量增加，销售商处发生的库存持有与变质处理成本之和变大，生产商降低批发价格以补偿销售商的损失，而销售商也通过提高销售价格来弥补这部分成本损失，同时增加订货批量满足市场需求。即便如此，当变质率不断增加时，无论是分散决策还是集中决策，时滞变质品供应链的总预期利润都呈下降趋势，预期利润增量也逐渐减少。在数量折扣契约协调下，生产商和销售商根据各自的讨价还价能力权重合理分配预期利润增量，使得各自预期利润比分散决策下皆有所增加，订货批量增量系数对变质率增加表现得极不敏感，而最优批发价格折扣系数对变质率增加表现得也不够敏感。

表1 变质率的敏感性分析

表2给出了时滞期td在0.00～1.00之间变化时对决策变量产生的影响。随着时滞期的增加，一个订货周期内发生变质的物品数量减少，销售商处发生的库存持有与变质处理成本之和变小，此时生产商提高批发价格以希望获取更多预期利润，而销售商则通过降低销售价格来提高市场需求率，从而达到增加预期利润的目的。所以，当时滞期增加时，无论是分散决策还是集中决策，时滞变质品供应链的总预期利润都呈上升趋势，预期利润增量也逐渐增加。在数量折扣契约协调下，生产商和销售商根据各自的讨价还价能力权重合理分配预期利润增量，使得各自预期利润比分散决策下皆有所增加，订货批量增量系数基本不随时滞期变化而发生变化，而最优批发价格折扣系数对时滞期的增加表现得极不敏感。

表2 时滞期的敏感性分析

表3给出了需求对变质时间敏感系数λ在0.00～2.50之间变化时对决策变量产生的影响。随着需求对变质时间敏感系数的增加，消费者对时滞变质品的市场需求量随着时间的推移不断减小，一个订货周期内总的需求减少，销售商处发生的库存持有与变质处理成本也相应变小，但批发价格与销售价格所受影响非常有限。由于订货周期内需求减少，因此订货批量也会随之减少。在销售价格与订货批量整体呈下降的态势下，无论是分散决策还是集中决策，时滞变质品供应链的总预期利润都急剧减少，预期利润增量也呈下降趋势。在数量折扣契约协调下，生产商和销售商根据各自的讨价还价能力权重合理分配预期利润增量，使得各自预期利润比分散决策下皆有所增加，订货批量增量系数与最优批发价格折扣系数随着需求对变质时间敏感系数的增加自身变化幅度极为有限。

表3 需求对变质时间敏感系数的敏感性分析

6 结语

时滞变质品的变质率及时滞期等因素对其补货决策产生重要影响。本文在假设需求依赖于销售价格与物品变质时间的基础上，分别建立分散决策与集中决策下的时滞变质品供应链预期利润函数，得到生产商和销售商生产、库存和价格的最优策略。随后引入数量折扣契约对时滞变质品供应链进行协调，并借助常相对风险规避型效用函数和纳什讨价还价理论来分配协调后的预期利润增量。数值算例仿真结果表明集中决策下时滞变质品供应链的预期利润相比分散决策有明显增加，而对预期利润增量进行合理分配后实现了时滞变质品供应链的帕累托改善。

本文的研究还存在以下几点局限性：首先，本文只考虑了常数变质率的情形，然而变质率还可能是时间的函数，已有少数学者进行了时变变质率的研究；其次，本文并未讨论允许缺货对企业决策的影响，但允许缺货是企业运作实践中比较常见的情况。最后，文中只讨论了“生产商—销售商”组成的两级时滞变质品供应链协调问题，尚可推广到“生产商—批发商—零售商”构成的三级时滞变质品供应链情形。当然，这些拓展研究也将极大增加模型分析的复杂程度。

附录A：

附录B：