数学教学实践中的理论思维

摘要：在日常数学教学工作中，囿于经验思维的教师甚多。而要向更高层面的教育教学水平递进，教师应当养成理论思维的意识，发展理论思维的功力。教师的理论思维有四种表现形态：不但重“果”还要重“因”，不但重“点”还要重“面”，不但重“术”还要重“学”，不但重“知”还要重“识”。正确认识这些理论思维形态，有利于教师自我理论思维与教学水平的提升。

关键词：数学教学 教学实践 理论思维 经验思维

简单地说，理论思维就是透过表面现象洞察事实本质的思维。一般而言，理论思维是与经验思维相对的。经验思维“主要依据人的感官所得来认识、把握事物或现象，秉承‘眼见为实的认识标准”;理论思维则是一种抽象的思维，抽象就是对事物的现象进行观察，采用概括、归纳的方式找到事物本质属性的思维方式。①在数学教学中，许多教师的教学思维往往囿于经验思维，即依据自己的教学经验或借鉴他人的教学经验来设计和实施教学。应当肯定，自己积淀的经验或汲取的他人经验，确实是教师个人的一笔财富，完全可以用于教学实践。针对具体的教学场景或教学内容，经验的作用往往能充分显现，“处方式”的教学策略的确能够解决许多问题。然而，经验之短在于“一事一议”“特事特办”，从而限制了它的宽泛。在讲完一堂课特别是自己满意的一堂课之后，教师是否想过：这种教学处理非常奏效，它的道理何在？这样的教学设计其理论基础是什么？对这个教学内容，如果换一种做法，教学效果会不会更好？同样的教学处理为什么换到另外的教学场景，教学效果会大打折扣？教师能够想这些问题，本质上就是理论思维的显现。

如果说经验思维足以应付“教书”，那么理论思维才是促进“育人”的良方。经验思维可以使教师成为一个优秀的教书匠人，但难以造就一个成熟的专家型教师。

理论思维有四种表现形态，正确认识和理解理论思维形态，有利于自我理论思维水平与教学水平的提升。

一、不但重“果”还要重“因”

理论思维的第一种形态：不但重“果”还要重“因”。也就是说，对于事物的认识.不但要知其然，还要知其所以然。

就教学设计而言，不但重“果”还要重“因”有两层涵义。其一，教师在教学设计时要有理论意识。设计一个教学方案，完全可以凭借自己的经验一挥而就，也可以参考他人的做法，在此基础上改造出新。其实，这些做法都可能只呈现了教案作为一种“果”的样态。试想一下，如果在写教案的过程中，老是伴随着一系列的自我提问，例如，这样做似乎很好，但好的理由何在？追根溯源，它的教学理论依据是什么？就今天的内容而言，依据这个理论来设计方案是否合理？合理之处在哪里？不合理之处又在哪里？能换一种理论作为这堂课设计的理论基础吗？换成另一种理论作为基础来设计这堂课，又可能会产生怎样的效果？……这样，伴随着反思前行，恐怕写教案就不会“行云流水”了。其二，教学设计要揭示知识的来龙去脉。一堂完整的课应当包括三个环节，即知识从何而来？知识是什么？知识从何而去？这是一条因果链。为什么教学过程要体现这条因果链？事实上，这条链反映了知识发生和发展的全过程，在一头一尾的两个环节，可以给学生提供开阔的思维空间，让他们能明了知识的来源，猜测知识的去向，而不是固守因果链中“知识理解”这个中间环节。其实，如果教师能够在教学设计时始终关注这条因果链，那么他就是在进行理论思维。

我们先来看“配方法解一元二次方程”的一个教学方案，它是按照教材中知识展开的方式设计的。具体如下：

（1）解答例题1：解方程（x+1）₂=4。

这是一个特殊的一元二次方程，左边是一个完全平方式，因此只需要等式两边开方，即可得到答案。

（2）解答例题2：解方程x₂+6x+4=0。

教师首先提示学生运用化归思想：

能将这个方程化为（x+h）₂=k的形式吗？然后引导学生操作，将常数项移到方程的右边，得x₂+6x=-4，在方程两边都加上一次项系数6的一半的平方，得x₂+6x+3₂=3₂-4。整理得到（x+3）₂=5。这样就把方程化为了（x+h）₂=k形式，从而解决问题。

（3）教师举例。

（4）学生练习。

这个设计，是典型的只展示“果”，即应当怎么做这件事。它并没有交代为什么要“在方程两边都加上一次项系数6的一半的平方”，所以这样做的理由并不知道，即不知其“因”。教师凭借经验思维，认为用这样的教法，学生完全能够熟练地掌握配方的方法，解决一般的一元二次方程。这种经验也确实可以被实践验证是有效的。

但是，如果再细细思考，就会看到这个教学设计存在一定的缺陷。第一，这个设计的教学理论依据是什么？显然，教学设计的思想，是把知识作为客观存在作为前提，把知识的学习解释为是学习者对客观知识的真实拷贝，因而，教学方法是直接传递知识，教学过程中完全没有体现学生对知识的建构活动，更无探究可言。第二，从发展学生数学核心素养的角度看，这个教学设计能够培养学生的什么素养？这里的学习例题再进行练习，学生完全是模仿练习，是按部就班，不是真正意义上的数学运算能力训练。至于其他核心素养，基本没有涉及。第三，过多地采用这样的教学方式，会扭曲学生对数学的认识信念。学生不明其理，不知道知识从何而来，只是在机械地接受结果性知识，数学精神、数学文化、数学价值荡然无存，直接影响到正确价值观的塑造。

我们可对上面课例进行改造。首先，要解决揭示产生这个结果的原因问题。其实这件事情是不难的，由方程（x+3）₂=5逆向推回去，就可以看出为什么要配上一次项系数一半的平方。在此基础上，再将这个问题做一般化处理，即由方程（x+h）₂=k展开，采用倒推方法找到配方的依据。其次，思考这一堂课能否体现数学文化的元素。事实上，这从数学史中就能找到很好的答案：它不仅解决了配方的依据问题，而且彰显了数学的文化底色。公元9世纪时，阿拉伯数学家花拉子米考虑解答一元二次方程x₂+lOx-39=0，即x₂+lOx=39。他构造了一个图（如图1），把方程左边的x₂+lOx看作是由一个边长为x的正方形和边长分别为5和x的两个长方形组成的矩尺图，它的面积（x₂+10x）恰好为39，只要在这个图形中增加一个边长为5的正方形，则这个图形的面积为x₂+10x+5₂=39+5₂。而此图恰好是边长为（x+5）的正方形，面积为（x+5）₂。也就是說，只要配5₂，方程的左边就成为一个完全平方数。对于一般情形x₂+6x+c=o，配上边长为b/2的正方形即可。

只重“果”不重“因”的思维，难以走出无源之水的困境，进入长流不断之江河。

二、不但重“点”还要重“面”

理论思维的第二种形态：不但重“点”还要重“面”。也就是说，既要关注个别事物，又要用宽阔的视野考量一类事物。

就教学设计而言，不但重“点”还要重“面”也有两层含义。第一，教学目标的设计应是“面”而非“点”。从三维目标到核心素养，课程标准的目标指向始终是多维的，因而，任何单一的、极端的教学目标设计思路都缺少理论思维。教学目标要涉及知识的理解与掌握、关键能力的发展、必备品格与价值观的形成、数学文化的熏陶，这就是所谓的“面”;而每节课都要有一个主要目标，就是所谓的“点”。理论思维就是需要教师面对特定的教学内容，在对数学知识有深刻理解、对教育理论融会贯通的基础上，设计从教学单元到具体每堂课的以点带面的教学目标体系，突出重点、观照全面。第二，对教学设计的分析，除了从个案角度深入解读之外，更应当从共性层面做出剖析。一个成功的教案，成功的原因是什么？除了本身设计的特殊性之外，是否具有某种可以解释其他课例的共性基因？是否能将其理论因素抽取出来，形成一类课程设计的理论基础？一组成功的案例，它们是否有内在联系、相互贯穿的共同因素？能否由此提炼出一种理论模型？等等。

来看一道应用题：

某服装厂原有4条成衣生产线和5条童装生产线，工厂决定生产一批帐篷。若启用1条成衣生产线和2条童装生产线，一天可以生产帐篷105顶;若启用2条成衣生产线和3条童装生产线，一天可以生产帐篷178顶。问：每条成衣生产线和每条童装生产线平均每天生产帐篷各多少顶？

这是一道纯数学问题的应用题，从教学目标看，主要是训练学生用数学知识解决应用问题，涉及的核心素养有数学建模。这类应用题在教材上很多，但是稍微分析一下可以看出，类似的应用问题，其情境的人工构造痕迹很重，缺乏一种真实感，使人感觉不到对情境的体验。一个好的情境应该是真实的，有故事情节，有人文因素，有教育价值，当然不能“去数学化”。

能否将上面的应用题进行改造，使它的教育功能得以放大？其实，这种想法是完全可以实现的。下面是做出改造的题目：

“5·12”汶川大地震后，灾区急需大量帐篷。某服装厂原有4条成衣生产线和5条童装生产线，工厂决定转产，计划用3天时间赶制1000顶帐篷支援灾区。若启用1条成衣生产线和2条童装生产线，一天可以生产帐篷105顶;若启用2条成衣生产线和3条童装生产线，一天可以生产帐篷178顶。

（1）每条成衣生产线和每条童装生产线平均每天生产帐篷各多少顶？

（2）工厂满负荷全面生产，是否可以如期完成任务？如果不能完成任务，假如你是厂长，那么你会怎样解决这个问题以体现你的社会责任感？

学生可能会提出如下一些方案：

“如果我是厂长，我会动员工人加班生产，给他们多加工资，好早日完工，支援灾区人民。”

“如果我是厂长，我会想办法改进技术，提高生产效率。”

“如果我是厂长，我会想办法联系其他厂家支援。”

添加了几句话，情境完全不一样，教学目标不再是“点”而是“面”：一方面，数学知识的应用价值真正体现出来，反映了数学在现实生活和生产中的应用，彰显了数学的文化元素;另一方面，培养了学生的社会责任感，示范了培养学生必备品格和正确价值观的具体做法，达到发展学生数学核心素养的目的。

只重“点”不重“面”的思维，难以跳出只见树木的围栏，登上综览森林之高地。

三、不但重“术”还要重“学”

理论思维的第三种形态：不但重“术”还要重“学”。这里的“术”指技术，“学”指学理，或者更宽泛地说，“术”指教学实践层面的操作，“学”指教学理论层面的思辨。

教学理论来自教学实践的总结和实验基础上的提升，这个过程包含了教学理论的理性思辨成分。教学理论既是一种事实性认识，又是一种价值性认识。就其性质说，它不完全是实证的知识体系，而是带有主观的、价值的思辨成分。①

教学理论具有概括性特征。教学理论是对散布在各个学科、各种教学内容中的不同教学方式共性的概括，从而形成具有一般意义的思想或模式。例如，教学原则是指教学中应当遵循的规则，诸如因材施教原则、循序渐进原则、理论联系实际原则等，不是针对某个学科或某种教学内容而定的，它们适合于所有学科的教学，而且是从教育规律中概括出来的，在教学实践中又被证实是有效的。显然，教学原则体现了对教学规则的一种高度概括，具有普适性。教学理论的概括性，是一种理性的思考，说理的逻辑、研究的旨趣不在实践层面的具体操作。论理，凸显了理论的个性。

与教学理论的属性不同，教学实践关注的是教学实施中的具体操作过程，着眼点是做事的“术”而非为什么这样做的“理”。如果说教学理论关心的是“面”，那么教学实践关注的则多是“点”。事实上，广大教师在实际教学情境中，习惯依据自己的经验来制订教学计划和教学策略，并不是依照某种理论来做教学设计，各个学科的教师一般只会关注本学科的教学操作而不过问其他学科的教学操作。

很多中小学教师，总是视理论为高高在上、不接地气。客观地讲，理论与实践之间的确有“隔板”，“施术”与“论理”的正常关系应当是“怎么做”与“为什么应当这么做”的逻辑链。造成这种关系没有理顺的原因，主要来自三个方面。（l）实践功用乏力。一是解释、预测力不显，二是指导、感召力不强。作为一门以研究教学原理、方法、策略、技术为旨趣的学科，人们以为它是能为具体课堂教学提供诊断并给出相应操作举措的，但教学实践者在研习教学论后却总是备感其假、大、空、玄。（2）本土特质缺失。一是对本民族国家既有教学传统不加了解地一味遗弃，二是对国外教学理论不加批判地盲目移植。（3）關于教学概念本身的分歧。在课程、教学内容、教学评价等各个方面，不仅旧有术语存在多种理解分歧，而且新进概念也因各自立基、视角不同而歧义百出。①

尽管教学理论与教学实践之间有脱节现象，但教学理论的创建毕竟是历代教育家共同追求的结果，是经验升华和理论思考的结晶，一线教师不能视而不见或轻言放弃。更重要的是，理论意识和理论思维来自理论学习和理论反思，实践需要理论介入，或者说在实践的土地上本身就是理论思想的播撒。

下面来看一个函数奇偶性概念的教学方案：

（1）复习函数的概念。

（2）给出偶函数与奇函数的定义：函数y=f（x）的定义域为D，对于D中的任意x，若f（-x）=f（x），则称该函数为偶函数;对于D中的任意x，若f（-x）=-f（x），则称该函数为奇函数。

（3）给定一些实例，让学生辨析，判断函数的奇偶性。

（4）教师举例。

（5）学生练习。

这是一个简洁明快的教学方案，也是高中教师比较喜欢采用的方案，因为它能节约教学时间，学生可以有充裕的时间练习。但这种方案的短板也是明显的，下面从学习理论角度对此做一分析。

教育心理学一般将概念教学分为概念形成和概念同化两类。概念形成是教师为学生提供概念的一组正例，让学生观察、归纳、概括出这组例子的共同属性，从而形成概念定义的过程;概念同化是教师给出概念的定义，然后用例子去强化，使学生理解概念的过程。②概念形成是从特殊到一般的学习方式;概念同化则是从一般到特殊的学习方式。显然，两种概念学习方式的功能是有差异的：概念形成偏重数学抽象、合情推理等素养的培养;概念同化偏重逻辑推理的培养。至于该用什么方式进行概念教学，则应当根据具体的概念来定，一般而言，应当多采用概念形成方式。为什么呢？因为对学生逻辑推理训练的材料比比皆是，但对数学抽象的训练材料则相对稀少，而数学抽象作为一个重要的数学核心素养，对于学生的能力发展举足轻重，理所当然，概念学习中的概念形成方式就不能轻易放弃。这就是从学理层面的分析。“明理”方能更有效地“施术”，这也是理论思维的功能之一。

基于这种分析，对上述教学方案加以改造，采用概念形成方式来设计。具体如下：

（l）给出函数y=x₂和y=x₃的图像，让学生观察这两个图像有什么特征、性质，两个图像在y轴的右边有什么共同点。

（2）填充表1。

（3）引导学生概括出规律：

对于y=f（x）=x₂，有f（-2）=f（2），f（-1）=f（1），f（-0）=f（0）……;

对于y=f（x）=x₃，有f（-2）=-f（2），f（-l）=-f（1），f（-0）=-f（0）……：

对于函数y=f（x）=x_n，若n为奇数，则f（-x）=-f（x）;若n为偶数，则f（-x）=f（x）。

（4）给出奇函数与偶函数的定义。

（5）正例强化，让学生举出更多两类函数的例子，说明研究这两类函数的必要性。

（6）反例强化。如函数f（x）=3x，x∈（-1，l），f（x）是奇函数吗？

（7）例题（略）。

这个教学设计有三个特征：其一，概念不是老师强加给学生的，而是学生通过观察、概括、归纳自己建构的，体现了建构主义教学思想;其二，从特殊到一般地建立概念，是数学抽象过程，因而教学目标直接指向发展学生的数学核心素养;其三，从学理上阐明了教学效果的有效性。

教师应当正确地看待和理解教育理论，正如夏正江教授指出的：教师作为专业人员，不可能像普通人那样，完全听凭即兴的、模糊的、内隐的“实践感”去指引自己的行为。用内在的“惯习”和外在的“场域”结构去解释教师的实践行为，具有一定的合理性，但教师并不是内在惯习和外在场域的奴隶。激发教师成长的内在动力，增强教师自我教育的意识，培养教师终身学习的习惯，是打破不良惯习、重塑教育场域的重要途径。在这方面，理论学习具有不可替代的作用。①

只重“术”不重“学”的思维，难以突破作坊工匠的意识，塑造工程思维之品格。

四、不但重“知”还要重“识”

理论思维的第四种形态：不但重“知”还要重“识”。“知”是指对事物的了解与知晓，“识”是指对事物的理解与见识。

“知”是信息，易于复制，是通过学习得来的;“识”是人的思想、见解，是通过体验得来的。“知”是“识”的基础，“识”是“知”的发展。所谓“见多识广”，反映的就是两者的关系：知道得越多，见识就越广。

“识”与“行”有关。“识”不能完全依附于知识。一个人知道得多，说明他的知识广博，但如果他脱离实践，不将知识与实践相结合，就可能造成经验缺失，成为有学而无识，甚至是满腹经纶的书呆子。杜威将其称为“人的理性是一个外在旁观者”，因为“人的理性丧失了主动的和有创造性的职能，人的理性的任务只是摹写，只是从符号上再呈现，只是观望一个既有的理性结构……，实际上，这只是把人的思想当作一个固定自足的模式在认识上再现而已。这种主张是传统上把知行分隔开來的结果”。②杜威非常强调知与行的结合，认知离不开行动，经验源于实践。人们常说读万卷书、行万里路，便是知与识、行与识的最佳结合。因此，知与行是“识”生长的两个来源。

“识”还指见识、胆识，表现为独到见解和开创能力。“知”是指对信息、资料、知识的了解，“识”是指对所知的东西进行分析、研究、批判、再创造，即产生精神的过程。我们把数学教学分为三个层次：基本型教学、智慧型教学、创新型教学。“创新型教学指教师在智慧型教学基础上，把握教学的宏观层面，遵循数学教育科学性与人文性并重的理念，正确处理数学教学中的基本矛盾，打破常规教学思路，设计新颖、独特、有效的教学程序，并能将教学实践与教学研究有机结合，把教学建立在教学研究的基础之上。”①显然，创新型教学依托的不只是教师的“知”，而更多地由“识”支撑。

理论思维正是强调要跨越从“知道怎么教学”到“怎样创新教学”之间的鸿沟，实现从基本型教学到智慧型教学再到创新型教学的提升。这个过程必须以“知”为基础、“识”为智慧来实现，即教师要有相对完备的数学知识结构，有完善的PCK（学科教学知识）。教师要有反思意识，养成反思习惯。反思包括对自己和他人的教学基本设计、教学实施过程、学生学习效果、课程资源开发等内容的反思。教师要有批判精神。批判是在反思基础上有依据、有理由的批判，批判的目的在于改造或重构。教师要具备一定的教育科学研究能力。不建立在研究基础之上的教学，很难成为创新型教学。

从更高的层面上看，一个优秀的教师完全可以将自己的教学实践经验升华为有一般意义的教学思想，自成一家之说。这是借助于理论思维，实现从单纯的“知”向“识”过渡产生的蜕变。这样的例子在中小学涌现出来很多。例如，李庾南老师提出“自学·议论·引导”教学模式，是她在对教学实践的反思、教学经验的总结基础上提出的。李老师说：“1978年，我已从事教学工作21年。这20多年来尽管我起早贪黑、尽心尽职，教学效果却并不尽理想。在教学之余，我常常回顾和反思，深感要在自己的教育观念和教法上找原因。于是我加强了对所教班级学生后续发展情况的跟踪了解，发现有些考分很高的学生走出校门后的发展情况并不甚理想，尤其缺乏自主性和创造性，而那些成绩一般，善于合作、善于探究、能力较强的学生却成为佼佼者。这种强烈的反差，促使我在反思中警醒，认识到之所以没有获得预期的效果，原因就在于过多地在‘教里兜圈子，而忽略了学生的‘学;在学生个体学习中兜圈子，而忽略了学生之间的交流和互助，致使学生未能得到主动、全面、充分的发展。我的教学必须破旧立新、继往开来，走革新、实验之路。”②于是，她从1978年开始，研究课题“自学·议论·引导教学法的创建和实验”，经过30年的探索，最终形成一种成熟的教学模式。这是典型的理论思维加实践创新的教学成果。又如，华应龙老师在对教学的潜心研究和实践探索基础上提出了“化错教学”思想③，应当说是别开生面、独树一帜。

只重“知”不重“识”的思维，难以超越照本宣科的尴尬，达到开拓创新的境界。

（喻平，南京师范大学数学科学学院教授，博士生导师，南京师范大学课程与教学研究所所长。全国数学教育研究会副理事长，全国教育论专业委员会理事，江苏省数学教育专业委员会副主任委员。主要从事数学课程与教学论、数学教育心理学的教学与科研工作。出版《教学认识信念研究》《数学教育基本问题研究》等专著6本，主编《中国数学教育研究30年》丛书4本，主编高校教材、中学教材5本，在国内外学术期刊上发表论文200多篇。）

①李润洲.理论思维：助推研究生的知识创新[J].学位与研究生教育，2017（12）：50。

①喻平.数学教育基本问题研究[M].南京：南京师范大学出版社.2019：76。

①容中逵.教学论学科发展的尴尬境遇及其生存之道[J].课程·教材·教法.2012（7）：20-22。

②喻平.数学教育心理学[M].南宁：广西教育出版社，2004：196-200。

① 夏正江.中小学教师究竟该不该学点教育理论？[J].教育研究与实验.2019（5）：9。

②約翰·杜威.确定性的寻求：关于知行关系的研究[M].傅统先，译.上海：上海人民出版社，2000：163。

① 喻平.数学教学的三种水平及其理论分析[J].课程·教材·教法，2012（1）：63。

②喻平.著名特级教师教学思想录（中学数学卷）[M].南京：江苏教育出版社.2012： 144。

③华应龙.课堂因差错而精彩——数学课堂“差错资源化”的思考与实践[J].江苏教育研究.2008（20）：4-7。