厘清知识结构，在自主引领中提升解决问题水平

王芳

【摘   要】复习课不是单纯的技能训练课，它注重将数学知识加以整合和沟通，使之结构化，从而让学生了解问题的形成过程，找到自主创编数学问题的角度，把握问题的结构，提升解决问题的水平。

【关键词】教学;策略;复习课

数学复习课的主要任务是厘清知识脉络、巩固所学知识以及提升学生解决问题的能力。对于如何提升学生的解决问题能力，一般有两种观点。

观点1：让学生多练习一些不同类型的习题，可以提高学生解决问题的能力。

观点2：让学生多练习一些易错题和有难度的问题，可以提高学生解决问题的能力。

两种观点都要选用多样的、有难度的题目让学生练习，但是学生理解练习这些题目的原因吗？对于一个单元的知识，可以生成很多类型的问题，学生理解这些问题的形成过程吗？他们是不是会自主生成许多问题，并且主动关注解决问题的注意点，自主探索解决问题的过程呢？带着以上思考，笔者对苏教版六年级上册“长方体和正方体的认识”单元的复习进行了教学实践。

一、厘清脉络，形成结构

一个单元学习的问题虽然多，但这些问题都是从这个单元最基本的知识结构中衍生出来的。所以，复习课应始于理解单元知识的结构。

【教学片段1】

师：（动画演示）同学们，从屏幕上看到了什么？

生：看到了一个点，点动成线，线动成面，面动成体，这样就形成了一个立体图形。

师：这学期学过的立体图形有哪些？从刚才的运动过程中，你知道要研究立体图形的哪些方面？

生：学过的立体图形有长方体和正方体，从刚才的运动过程中我们知道要研究立体图形的点、线、面、体。

生：正方体和长方体都只有8个顶点，比较重要的是研究线、面和体。

师：线是有关长方体和正方体什么方面的问题？面呢？体呢？

生：线是有关棱长的问题，面是有关面积的问题，体是有关体积的问题。

师：请你们看看这些问题和长方体与正方体的什么有关（见图1）。

师：这些问题可以分成三类（如图2），一类和棱长有关，一类和面积有关，一类和体积有关。

点、线、面、体是立体图形的关键要素，是本单元问题形成的切入点。教师可将一些具有代表性的问题综合在一起，让学生分类。在分类的过程中学生感受到长方体和正方体的问题都和棱长、面积、体积有关。

二、基于经验，创编问题

在学生对本单元的问题有了框架性的理解后，教师可引导学生经历问题的形成过程，体会问题之间的联系，自主創编更多新的数学问题，提高解决问题的能力。

【教学片段2】

师：看到这样一个长方体（如图3），你能提出什么问题？

生：求这个长方体的棱长总和、表面积和体积。

师：还记得棱长总和、表面积、体积的计算公式是什么吗？这些公式又是如何推导出来的呢？

（教师根据学生回答板书公式）

师：请同学们根据公式，计算这个长方体的棱长总和、表面积和体积。

（学生独立完成棱长总和、表面积和体积的计算）

……

师：如果将这个长方体变一变，可以变成什么图形呢？

生：可以变成一个正方体。

师：正方体的棱长总和、表面积和体积公式还记得吗？

（教师根据学生的回答板书正方体的棱长总和、表面积、体积公式的字母表达式）

师：这个长方体（去掉数据），在生活中可能是什么呢？

（学生答：可能是饼干盒、鱼缸、集装箱、牙膏盒、通风管、火柴盒等）

师：同学们的想象力真丰富！如果我把这个长方体看作一个饼干盒，再给它的长、宽、高标上数据，你觉得可以提出哪些问题？

生：饼干盒的容积是多少？

生：饼干盒的表面积是多少平方厘米？

生：饼干盒四周的包装纸的面积是多少平方厘米？

……

师：如果把这个长方体看成一个无盖的金鱼缸（给长、宽、高标上数据，如图4），你可以提出什么问题？为什么要提这个问题？

生：我的问题是制作一个鱼缸，需要多少大的玻璃？这个问题只要求出玻璃缸5个面的面积就可以解决。

生：我的问题是水深4分米，水和鱼缸的接触面是多少？这个问题其实就是求长1.5米、宽0.8米、高4分米的长方体的5个面的面积。

生：在鱼缸中倒入一些雨花石，水面上升0.1米，雨花石的体积是多少？这个问题虽然是求雨花石的体积，但只要求上升的水的体积，上升的部分是一个长1.5米、宽0.8米、高0.1米的长方体。

……

师：还可以把这个长方体想象成什么呢？联系生活经验，给你想象的这个长方体的长、宽、高标上数据，然后结合这个物体编写合适的题目。编写之前，先看看编写要求。（师出示）

1.四人一组，先讨论确定这个长方体可能是生活中的什么，联系生活，给这个物体的长、宽、高标上数据。

2.从棱长总和、面积、体积这三个角度中选择一个角度，四人共同编写一道题，并解答。

（学生小组讨论）

生：我介绍的是有关棱长的题目，行李托运服务员捆扎一个长3米、宽0.9米、高0.8米的长方体货物包装箱（如图5），如果不打结，那么需要多长的包装带？这个题目其实是有关棱长的问题。

生：我介绍的是有关面积的题目，一个火柴盒，长6厘米，宽4厘米，高2厘米，这个火柴盒内盒的表面积是多少？这是一个和面积有关的题目，火柴盒的内盒只有5个面，所以这个问题就是求5个面的面积。

生：我介绍的是有关体积的题目，一个集装箱的内尺寸是18m×7m×6m，一种货箱的外尺寸是3m×3m×3m，这个集装箱最多能装多少个这样的货箱？这是一个和体积有关的问题，看集装箱的长、宽、高上分别有几个货箱的长、宽、高，然后再求出货箱的个数。

……

师：你们的想象力都很丰富，真了不起。老师也编了几道题，你们不仅要解决问题，而且要说出一说这个问题好在哪里。（师出示题目）

1.用一根丝带捆扎一个长20厘米、宽18厘米、高8厘米的长方体礼品盒（如图6），打结处用了15厘米，包装这个礼品盒用了多少厘米的彩带？

2.一种下水管每根长2米，横截面是边长为5分米的正方形，做10根这样的下水管，至少要用多少平方米的铁皮？

3.一个无盖的长方体木箱（如图7），木板厚度是2厘米，从外面量长是44厘米，宽是29厘米，高是32厘米。这个木箱最多能容纳多少立方厘米的物体？

生：第1题不仅要考虑棱长问题，还要注意这个礼品盒打结处的长度，题目更加灵活了。这道题没有直接求棱长总和，但是与棱长有关系。

生：第2题跟长方体的表面积有关，但是根据实际经验，它只要求出4个面的面积。生活中还有诸如通风管问题也是这一类型的。

生：第3题虽然知道了长、宽、高，但是要求容积还不能直接用长×宽×高，还要根据题目的实际情况进行分析。

生：其实可以编出无数的题目，我们只要抓住生活中物体的特征，联系棱长、表面积和体积的计算方法，就可以找到解决问题的方法了。题目千变万化，但万变不离其宗。

问题是如何生成的？首先，让学生整理出长方体和正方体的棱长、表面积和体积的公式，进行基本问题的练习;其次，回到生活中的长方体，放手让学生自己展开想象，这个长方体可能是生活中的什么，并通过小组讨论，提出符合生活的实际问题，问题更加准确完善，思维也更加缜密。教师出题，学生讲述解决问题的思路，分析问题的价值，更理解了问题的产生过程。

三、总结提升，感悟本质

学生创编了一系列数学问题后，让学生换一种思路来创编习题，打通不同习题之间的联系，找到不同问题的相同之处。

师：刚才我们根据长方体的长、宽、高求出有关棱长总和、面积和体积的问题，现在反过来，已知长方体的棱长总和，可以直接求出长、宽、高吗？如果不可以，需要添加什么条件？

（出示：用长60分米的铁丝焊成一个长方体框架，这个长方体框架的长、宽、高分别是多少分米？）

生：已知长方体长、宽、高的比，按比例分配可以求出长、宽、高。

生：已知長方体右面的面积以及高的长度，也可以求出来。

……

师：已知长方体的棱长总和，需要通过添加条件，才能求出长方体的长、宽、高。如果改变它的形状，你觉得把这个长方体变成什么形状，就可以直接求出它的长、宽、高了呢？

生：把长方体变成正方体。

师：为什么已知棱长总和，不可以求出长方体的长、宽、高，但是改变形状，变成正方体就可以了呢？

生：长方体中长、宽、高是三个变化的量，而正方体中，它只有棱长这一个变化的量，所以可以直接求出棱长。

师：如果接着编题，还能够编出什么问题？

生：已知长方体的表面积，可以求出长方体的棱长问题，已知长方体和正方体的体积，可以求出棱长的问题。可以编出无数道题目。

……

逆向思考，已知棱长、面积、体积，要求出长方体的长、宽、高，需要增加条件，才能求出长方体的长、宽、高，而正方体的棱长可以直接求出。顺向与逆向思考，丰富了学生创编问题的角度，有利于学生把握问题之间的联系。

总之，这节课不仅仅是单纯的技能训练，而是巧妙地将数学知识加以整合和结构化、系统化，让学生经历问题的形成过程，以便把握问题的结构，提升解决问题的水平。

（江苏省南通崇川学校   226014）