基于FN—SPA模型的降雨径流预测

黄建国，王东明

(1.安徽水利水电职业技术学院 基础部，安徽 合肥 231603；2.皖西学院 金融与数学学院，安徽 六安 237012)

降雨径流是指落到地面的降雨，除去蒸发、地表和地下调蓄的水量，通过地面径流、表层流和地下流汇集到出口断面的汇流过程。影响降雨径流的因素很多，如降雨量、降雨时间、地形地貌、土壤湿度等等。因此，降雨径流的预测是一个比较困难的过程。目前国内外降雨径流的预测方法可归纳分为数学物理模型、概念模型和黑箱模型，如瞬时单位线法[1]、综合单位线法、等流时线法、调蓄函数法、tank模型、人工神经网络模型等等[2-3]，但各种预测方法都有一定的局限性。泛函网络(Functional Networks，简称FN)是一种“灰箱”模型，具有很好的非线性逼近能力。集对分析(SetPair Analysis，简称SPA)具有很好的信息预处理能力。为了提高降雨径流的预测精度，把泛函网络与集对分析结合起来，提出了一种FN—SPA模型。计算机仿真结果显示，与神经网络模型相比较，在预测降雨径流洪峰流量时，该模型的预测精度更高。

1 FN—SPA模型理论

1.1 泛函网络简介

1998年Castillo E.提出了泛函网络[4]，它是对神经网络的推广。一个典型的泛函网络模型主要组成如下：1)输入单元层。它是输入数据的一层单元，如图1中的{x1,x2,x3}。2)泛函神经元。每个泛函神经元是一个计算单元，对一个或多个输入的信息进行处理产生输出，如图1的{f1,f2,f3}。3)中间存储单元。它存储由神经元产生的信息，如图1中的{x4,x5}。4)一个输出层。输出网络的结果，如图1中的{x6}。5)有向连接线。它们连接输入层、中间层神经元和输出层，如图1中的箭头表示，箭头的方向表示信息流的方向。

图1 典型的泛函网络模型

1.2 泛函网络学习算法

可分离泛函网络为目前应用最广泛的泛函网络之一，可分离是指它的表达式为输入变量分离作用效果的组合。用于FN—SPA模型的可分离泛函网络如图2，它的输出函数为

(1)

图2 用于FN—SPA模型的可分离的泛函网络结构

利用最小化误差平方和的方法来优化网络系数aik，

(2)

式中，tj为第j个训练模式输出。

为了得到唯一的网络表达式，需要给出一些泛函网络的初始值。设泛函网络的初始值为fi(x0)=ui0，i=1,…,n。

(3)

对(3)式求偏导，可得

训练泛函网络就是求解(4)、(5)组成的方程组。

1.3 集对分析

集对分析是赵克勤先生在1989年提出的一种处理不确定性问题的理论和方法[6]。四元联系数是对组成集对的两个集合特性作同一性、偏同性、偏反性和对立性分析，用联系数来刻画两个集合的联系程度，其联系度的表达式为

(6)

式中，N为集合的特性总数；A为同一性个数；B为偏同性个数；C为偏反性个数；D为对立性个数；i∈[0, 1]；j∈[-1, 0]；k=-1。

1.4 FN—SPA模型原理

FN—SPA模型的输入变量有总降雨量x1、降雨历时x2、河道基流x3、单位时间平均降雨量x4，……，xn。把需要预测值所对应的输入作为B集合，即B={x1,x2,…,xn}。将历史资料时间序列样本集的输入分别作为At，即At={xt1，xt2,…,xtn}，t=1,…,m。按照联系数的大小，在A1，A2，……，At中，寻找与B集合最为相似的k个集合，把这k个集合和其对应的输出作为训练集。由于训练集的输入与需要预测值的输入条件类似，即减少了极端数据作为训练样本对预测结果带来的不利影响，因此预测的结果相对会更精确一些。

2 FN—SPA模型算法

step 1. 预留部分历史资料时间序列为检测集。将最后l个历史资料时间序列作为检测集，其余的历史资料时间序列都作为样本数据。

step 2. 构建集对Bi与At。将检测集中第i个预测值所对应的输入作为集合Bi，即Bi={xi1，xi2,…,xin}。把各样本数据的输入作为集合{At},t=1,…,m，其中At={xt1，xt2,…,xtn}。

step 3.计算集合Bi与每一个集合At的联系数。如果|Ati-Bi|≤15%Bi，认为分量Ati与分量Bi具有同一性；如果15%Bi<|Ati-Bi|≤25%Bi，认为分量Ati与分量Bi具有偏同性；如果25%Bi<|Ati-Bi|≤35%Bi，认为分量Ati与分量Bi具有偏反性；如果35%Bi<|Ati-Bi|，认为分量Ati与分量Bi具有对立性。逐一对集合Bi与每一个集合At的同一性、偏同性、偏异性和对立性进行分析，计算出Bi与每一个集合At的联系数。按照联系数的大小，在A1，A2，……，At中，找出与Bi集合最为相似的k个集合，将此集合与其对应的输出作为训练集。

step 4. 数据归一化处理。归一化方法：

(7)

式中，X为原始数据；Xmax为原始数据的最大值；T为变换后的数据，即目标数据。

step 5. 网络训练。首先给出任意两两相互线性独立的函数组成的系统，即网络基函数φ(x)=(φ1(x),φ2(x),…,φr(x))。其次，将训练集中归一化的数据输入泛函网络，进行网络训练，得到最佳的网络参数。

step 6. 网络逼近能力检测。利用最佳的网络参数，把Bi={xi1，xi2,…,xin}输入网络，得到所预测的第i个时间序列的洪峰流量。

3 计算机仿真

应用FN—SPA模型对降雨径流进行预报的实例资料是来源日本一柳(Ichiyanagi)先生在日本中部大井川河上游某地区降雨径流资料[7](P100-101)。将历史资料分成样本数据集和检测样本数据集，如表1和表2。

表1 样本数据集

表2 检测样本数据集

计算两个集合联系度时，把总降雨量、降雨历时、河道基流和单位时间平均降雨量作为集对的元素。(6)式中，i和j分别取0.5与-0.5。选取降雨历时、河道基流和单位时间平均降雨量作为网络训练输入变量。采用φi(x)=(1,x)作为泛函网络的基函数。为了便于求解最优网络参数，同时也发挥泛函网络是灰箱的优点，设网络函数为

(8)

式中，x为降雨历时；y为单位时间平均降雨量；z为河道基流；ai为网络参数，i=1,…,5。网络的初始值设为：F(0,0,z)=z。

仿真的结果见表3。由表3可知，FN—SPA模型对降雨径流洪峰流量预测的精度要高于人工神经网络模型，说明FN—SPA模型预测降雨径流洪峰流量是有效的，而且预测精度更高。

表3 预报误差

4 结语

本文的FN—SPA模型是对降雨径流洪峰流量预报方法的一种探索。FN—SPA模型优点是既利用集对分析量化解决不确定性问题，又利用泛函网络良好非线性逼近能力。仿真的结果显示FN—SPA模型预测精度更高，表明该模型预报降雨径流是有效的。

FN—SPA模型还存在一些不足：集对分析中，i和j具体选取什么值最优，目前还没有理论指导。在集合At中，具体界定哪些集合与B相似，还处于经验阶段。泛函网络基函数的选取也缺乏理论指导。