平方根内容教学现状的理论分析

曲元海，贾宏宇

平方根内容在人教版教材中是七年级下册第六章的内容，该部分是基础内容，它对实数运算及二次根式的学习都非常重要.并且通过这一内容的学习，引进了第三对互逆运算即乘方和开方运算.对于这部分内容，教材的呈现顺序是先介绍算术平方根，然后再接触平方根.绝大多数教师在教学时，基本按照教材呈现的知识结构顺序进行教学，先讲算术平方根，再讲平方根.笔者通过与各校（通钢三中、通钢二中、通化市二中、通化市五中、通化市外国语学校、通化市十三中、通化市实验中学等）多位数学教师交流了解到，很多学生对这个知识点的学习总会出现一些共性的问题，如9的平方根是3；的平方根是这样的错误.教师反反复复地训练、纠正，但学生反复出现问题.教师也感到不解和困惑.笔者针对这样的教与学的状况，从以下几个方面深入分析原因，并试图给出改进平方根内容教与学的策略.

1 平方根内容相关分析

1.1 从教材安排顺序分析

教材在处理平方根内容时，按照由特殊到一般的顺序，即先安排算术平方根的学习，再过渡到平方根内容的学习.教材通过一个情境：一块25 dm2的正方形画布，它的边长是多少？来引发学生的思考.［1］教材之所以这样做，是考虑学生熟悉平方运算，再结合正方形面积与边长的关系，学生容易解决这个问题.同时，考虑实际问题往往是正数的情况，这跟算术平方根非常吻合，接着过渡到一些实际问题：让学生直接写出一些正数，它的平方是1，，，等.由此给出一个正数a的算术平方根，并表示为，然后过渡到一个数的平方根.这样做的好处是从特殊到一般，似乎符合学生思维的特点，也符合认知的一般规律.从学生学习的角度，按照概念学习类型属于上位学习，这种学习关键是归纳出下位概念的共同特征.但从另一个角度看，学生的学习有先入为主的倾向，先学习的内容会对后面内容的学习产生影响，心理学称之为首因效应.［2］因此，先学习算术平方根，尤其是反复强化一个正数的平方的问题，这样势必会对学习一个数的平方根产生不利影响，况且在引进负数扩充数系的过程中，学生同化负数的知识结构还不是很稳定，更会使算术平方根和平方根的内容学习混淆，尤其是对一个正数的平方根是两个互为相反数的数，易与算术平方根产生一定的认知冲突.

1.2 从运算的角度分析

学生在小学就已经学习了“加与减”“乘与除”是互逆运算，它们之间都可以相互转化，即减去一个数等于加上这个数的相反数；除以一个数等于乘上这个数的倒数，并且运算结果都是唯一的，学生对此非常熟悉.乘方是特殊的乘法，学生理解起来也比较轻松，但开方运算即求平方根运算是乘方的逆运算，且结果有几种情况，尤其是正数的平方根有两个结果，这与学生以前遇到的运算结果唯一的情况有所不同，引起了学生认识上的冲突.如果不采取可行的方法势必造成理解上的偏差.负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算，这种情况也与学生过去学习的运算有所不同.因为过去的加减乘除运算都可进行（零不能作除数除外），现在出现了负数不能进行开方运算，因此从运算的角度来看，学生学习这个内容存在一定的难度.

1.3 从符号表示角度分析

众所周知，数学教学语言包括三种：自然语言、图形语言、符号语言，数学的符号语言是数学的一个重要的特点，它具有简洁、形象的特性，不仅如此，它本身就具有特殊的意义，还可以参与运算和推理等.在平方根这个内容中，引入了±a表示非负数a的平方根.这种表示的内涵可以从几个方面理解：一是正数的平方根有两个数，且这两个数互为相反数；二是它可以看作是一种形式上的表达，这也是数学的特点；三是可以进行运算，这一点学生有时会出错，原因是理解不全面.从这几个方面看，学生往往理解不到位，有一定难度.这个内容掌握不好也会与后面的二次根式内容脱节，不能建立知识之间的联系，学生的认知结构就不十分清晰.

2 平方根内容教学建议

根据笔者对平方根内容的教学顺序、运算系统、符号引入等分析，认为对这部分内容的教学应该按如下次序进行：

2.1 从平方根内容入手，算术平方根看作是它的一部分

笔者根据以上的分析和学生的实际情况认为，先进行平方根内容的教学，然后再进行算术平方根教学.这样处理有以下理由：奥苏贝尔说过：“如果让我用一句话来概括教育教学的理论，那就是学生知道了什么，我便以此来进行教学”［3］学生前面已经学习了有理数的四则运算和乘方的概念，学生对平方的概念非常熟悉，也清楚一个负数的平方是正数的道理.也就是说学生有学习平方根的知识储备，对(±3)2=9，这样的事实，认识比较深刻.因此，通过这样引入便于学生对其逆问题的理解；另一个原因是先学习了平方根后，再学习算术平方根降低了学习的难度，因为算术平方根是平方根的一个部分.从学习心理学角度讲这种学习属于下位学习，学生比较容易接受.由以上的分析来看，从先进行平方根的教学，然后再进行算术平方根的教学要好于目前教材上的呈现顺序的教学.

2.2 通过讨论理解平方根的三种情况

人们常说：“Tell me，I will forget；Show me，I may remember；But involve me，I will under⁃stand”.课程标准也强调以学生为主体，学习方式多样化，尤其是自主探索和合作交流是非常有效的学习方式.真理越辩越明，通过适当的讨论，让学生理解正数的平方根有两个，且互为相反数；零的平方根是0；负数没平方根.这三种情况可以通过提问，激发学生的思考.同时也要让学生学会如何思考这个问题，核心是回到定义上，关键是平方运算.数学教学要始终抓住一根重要的红线那就是数学思想方法，它是数学的灵魂，这里教师要抓住时机，让学生感受数学中的分类思想，体会数学的严谨性，更好地在数学学习过程中提升思维能力，涵养数学素养.

2.3 适时引入符号表示

在数学发展的过程中，数学符号作用非常大，但在引入符号的过程中必须把握好时机，让学生理解好它所代表的意义.字母代数经历了文辞代数、缩写代数、符号代数三个阶段［4］引进字母也要充分考虑学生的认知情况，使其能真正地懂得符号所代表的实际意义，并会用符号进行推理和表达.在引入±a表示非负数平方根的过程中要紧扣定义，明确它表达的意义，且要在练习中让学生表述，并在文字和符号之间熟练地转换.还要与算术平方根联系起来，形成一个关于平方根的知识体系.同时要捎带介绍根号的由来.简要介绍，历史上很多人都曾给出过平方根的符号表示，但随着岁月的流逝都没站住脚，最后法国数学家笛卡尔在鲁多尔夫和斯蒂文的基础上，创造性地提出了现在的根号表示，得到广泛地认同，并一直沿用至今.通过简单介绍让学生感受数学的每一步发展都凝结了许多人辛勤的汗水，也能让学生体会数学文化的魅力，改变学生对数学的一些负面印象，真正理解数学是有血有肉的有着广阔创造空间的一门学科，从而提振学好数学的信心和勇气.

2.4 通过实际问题辨析平方根和算术平方根

数学大家严士健曾说过：“数学教学不能掐头去尾烧中段.”他还说：“应该从广泛得多的角度来向中学生介绍数学思想、发生规律、背景.简单地说，就是要讲来龙去脉.数学教学要充分展示数学知识的背景，形成发展的过程，以及有哪些应用，充分挖掘实践性.”[5]如何引入这个概念，教师要下功夫创设好情境，讲清背景，充分重视概念引入和形成过程.平方根这一内容在引入概念后，要不断通过训练来加深对概念的理解，同时要通过一些应用问题来探究其应用价值.结合实际问题，学生能够分辨什么时候应用的是平方根，何时应用算术平方根，从而在应用中进一步加深了对知识地掌握.

3 结语

总之，这一内容的教学要根据学生的认知规律，让学生清楚知识的发生、发展和应用，始终贯穿着用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界的主线，才能使学生得到良好的数学教育.