立足通性通法 培养核心素养

杨亮

摘 要：解题能力是高中数学教学中非常重要的能力，也是教师教学的重要环节，面对无数数学题目归纳总结同类型题目的通性通法，是锻炼学生思维、培养核心素养的必备途径。教师在解题教学过程中一定要强调通性通法，让学生感受、感悟通性通法的思维习惯，教师将解题的通性通法常态化、系统化、普遍化，便于带领学生去体会数学的真谛，最终落实为培养数学核心素养的目标。

关键词：通性通法;核心素养;解析几何

一、通性通法对新高考和解析几何的意义

新的课程标准要求在数学教学中培养学生“四基、四能、六核”，所以新高考考查的内容特别注重数学本质，通性通法，淡化技巧，围绕高中数学的主干知识，重点考查借助数学的本质，活用求解数学问题的通性通法的能力和意识，解题能力的教学是否到位直接关系到学生知识点的掌握、思维的锻炼、经验的积累。如果教师在解题教学备课中能够很好地研究解题的通性通法，并把其运用到实际的教学中，那么在解题的教学中提升学生的思维能力方面，培养学生的数学核心素养方面将会如鱼得水，否则就会如鱼上岸。

解析几何的知识是高中数学重要内容之一，对学生的解题能力要求比较高。解析几何的解题教学可以充分锻炼学生的逻辑推理、直观想象、数学运算的数学核心素养，解析几何承载着的是函数与方程思想，数形结合的思想，转化化归的思想，更能体现坐标法的通性与本质。直线与圆锥曲线的位置关系问题是解析几何中非常重要而且精彩的组成部分，对于直线与圆锥曲线相交、相切、相离的题目多之又多，若处理时没有对其通性通法的研究，不亚于在大海中迷失方向，也很难对整个解析几何产生全局观。

二、挖掘教材中的通性通法

笔者在一线教学中通过研读教材结合高考试题对直线与圆锥曲线位置关系的问题的通性通法判别式法做了一些研究，发现有些高考试题考查直线与圆锥曲线位置关系的意图在教材中是有渗透的，在教学时我们只要立足通性通法，认真研究思考就会发现。下面以直线与椭圆的相切位置关系为例体会一下判别式法，我们先来探讨直线与椭圆的位置关系的通性通法，利用直线方程和椭圆方程组成二元二次方程组，通过带入消元化为x或y的一元二次方程，利用判别式的值来判定有无交点及交点个数，这个过程就可以概括为判别式法。具体如下：设直线斜截式方程为：椭圆方程为：，我们来探究它们相离、相切、相交的充要条件。联立两个方程化简整理得关于m的一元二次方程一元二次方程（1）的判别式

①当时，即时，直线与该椭圆相离;

②当时，即时，直线与该椭圆相切;

③当时，即时，直线与该椭圆相交。

上述推导经过了联立、消元、判别式的过程，这是解析法基本操作，也是判断直线与圆锥曲线关系的通性通法，教师应重视这个过程的推理，让学生熟悉并掌握这种通性通法，便于后续解决有关弦长、切线方程、定点定值、最值、轨迹方程等解析几何中的重要问题。位置关系中相切是很重要的，所以我们要重点提炼结论：直线y=kx+m与椭圆相切的充要条件是，我们可以利用上面的相切的结论得到对应的切线方程：（斜率存在时），下面通过教材例题的解析为例来体会这种联立、消元、判别式的通法。先看一道A版2-1教材47页例7：已知椭圆，直线l：4x-5y+40=0。椭圆上是否存在一点，它到直线l的距离最小？最小距离是多少？

以下是课本的分析解答：

分析：作出直线l及椭圆。观察图形，可以发现，利用平行于直线l且与椭圆只有一个交点的直线，可以求出相应的最小距离。

解：由直线l的方程与椭圆的方程可以知道，直线l与椭圆不相交（通过a2k2+b2与m2的大小关系做判断）.设直线m平行于直线l，则直线的方程可以写成4x-5y+k=0（平行直线系设法）①

由方程组消去y，得，②

令方程②的根的判别式 得

由上圖可知，当时，直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近，直线l与直线m间的距离。

试题评述：这道题是由直线与椭圆相离转化为相切来解决的，从以上教材上给出的解答过程，我们不难体会到处理直线与椭圆位置关系的通性通法，教材把联立方程组消去y得到关于x的一元二次方程②的过程书写省略了，在教学时应该给与补充，便于学生体会中间的过程，为了保证我们得到的方程②的准确性，学生必须要掌握这个过程，这些步骤很关键，是解析法的基本程序和通法，许多同学处理该类问题出错的地方就在于此步骤不准确。接着就是通过方程②的判别式求得k值，这一步涉及解析法中已知斜率的椭圆的切线方程的代数求法，解析中并没有出现椭圆的切线这个词，而是用直线与椭圆只有一个交点来处理的，这就是课标要求。

三、通性通法在高考题中的应用及拓展研究

直线与椭圆位置关系的判定只能联立方程利用判别式来解决，所以有关直线与椭圆相切的问题就需要利用联立、消元、来解决，这也是解析法的重要环节。我们再看一道2014年的广东省高考数学试题（文理卷）：

已知椭圆的一个焦点为离心率为，

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程。

解析：（1）略（2）设两切线为①当轴或者轴时可知

②当l1与x轴不垂直也不平行时，，设l1的斜率为k且，且l2的斜率为，l1的方程为联立方程因为直线l1与椭圆相切，所以

整理得：所以k是方程的一个根，同理可知：是方程的另一个根。

，整理得所以点P的轨迹方程为经检验满足上式，综上，点P的轨迹方程为

试题评述：此题的第一问非常基础，符合高考的低要求，第二问用到了切线方程的求法，以及两直线垂直的充要条件，上述解法也是应用联立、消元、判别式的通性通法来处理的。

回到2014年的广东省高考这道试题结合我们得出的结论，我发现椭圆相互垂直的两条切线交点的轨迹问题教材上有渗透，A版2-1教材在椭圆的简单性质一节课中在探讨椭圆的范围时，教材44页中画了一个椭圆的外切矩形，这个外切矩形的外接圆的方程就是。

教材81页复习参考题B组第7题正是在引导我们发现上面的结论。

通过上面的两个关于直线与椭圆相切的问题的剖析我们不难体会到处理该类问题的通法即判别式法，教师在教学时还可以联系整章的内容发现高考试题与教材的隐性联系得出一些实用的结论，解析几何中类似“设而不求”“点差法”与该通法大同小异，通性通法不仅抓住了问题的数学本质，弄清了问题的来龙去脉，而且培养了学生解题思维的深刻性和批判性。

结束语

从事一线教学多年，我常常有这样的体会：学生上课听懂了，但是课后解题状况百出，究其根源就是学生没有抓住解决问题的通性通法，学生只能“做一题，会一题”，无法触类旁通，学生的学习无法实现训练思维、素养的提升。所以我认为在数学解题教学中更多地注重通性通法的教学，才能有更多的机会触及数学问题的本质，才能更好地提升学生的思维能力和学科素养。

综上所述，在数学教学中，通性通法的使用和深层次的理解伴随一个螺旋上升、逐步深化、直达本质的过程。只有真正重视通性通法，多方位、多侧面地深入理解和系统总结，才能让学生抓住数学问题的本质，将学生的知识学习引向深入的探究，提升学生的数学学科核心素养。

参考文献

[1]蒋志学.基于学科素养的解题能力培养：以高中数学为例.数学教学通讯，2017.

[2]潘颖艺.注重通性通法教学凸显数学本质[J].福建中学数学，2012.

[3]邹生书.圆锥曲线相互垂直切线交点的轨迹[J].中学数学研究，2011.

[4]王申怀.人教A版选修2-1教材[M].北京：人民教育出版社，2007.