一道数列选择题的评讲与思考

广东 林国红

笔者曾听过本校一位高三老师的二轮复习课，内容是评讲一份模拟试卷中学生出错较多的题目，其中一道数列选择题因错误率较高被老师重点评讲.讲课教师的讲解条理清晰，既突出了基础知识，也提供了新的解法，但评讲过程因为运算量大而费时费力，让人感觉不像是在做选择题.

笔者对此习题课的过程记忆犹新，课后作了些思考，特意成文，与大家分享，希望能抛砖引玉.

一、试题的呈现

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分析题目结构非常简单，知识方面主要考查数列的通项公式、递推公式、数列的前n项和及数列的相关运算.突出对化归与转化等数学思想的考查，综合考查学生的逻辑思维、推理论证及运算求解等方面的能力，试题的思维要求较高，解法灵活，体现了对数列模块的核心内容和基本思想方法的考查.

二、老师的讲解过程

1.数列{an}通项的求法

解法1 累乘法

=(n+2)×2n，

所以当n≥2时，an=(n+1)×2n-1，又a1=2符合，故an=(n+1)×2n-1.

解法2 定义法

评注两种解法都是求数列通项常见的基本方法，解法1适用于部分形如an+1=an×f(n)的题目，使用时要注意项数；解法2则对“系数”与“项数”的配对有较高要求.教师教学不落俗套，关注试题本身的特点，回归定义，迅速破题，值得赞扬.

2.数列{an}前n项和Sn的求法

解法1 错位相减法

因为Sn=a1+a2+…+an

=2×20+3×21+4×22+…+n×2n-2+(n+1)×2n-1,①

①×2，得2Sn=2×21+3×22+4×23+…+n×2n-1+(n+1)×2n，②

①-②，得-Sn=2+21+22+…+2n-1-(n+1)×2n

=-n×2n，

所以Sn=n×2n.

解法2 裂项相消法

因为an=(n+1)×2n-1=n×2n-(n-1)×2n-1，

所以Sn=a1+a2+…+an

=(1×21-0)+(2×22-1×21)+(3×23-2×22)+…+[n×2n-(n-1)×2n-1]=n×2n.

评注错位相减法是数列求和的常见方法，也是高考的高频考点，需要掌握.错位相减法虽然方法简单，但在实际运用时，常因运算和代数变形不过关而导致出错.裂项相消法求和运算简单，但拆项难，尤其是复杂结构.本题中数列通项的裂项，看起来是神来之笔，妙不可言.事实上，和本题结构特征(差比型)相似的数列，即通项是等差数列和等比数列对应项的乘积的数列，都是可以裂项的，只需要找到两个与项数完全匹配的项，用待定系数法就可以解决问题.再次为教师的视野点赞，美中不足的是，授课教师没有揭示“差比型”裂项的一般规律，不便于以后的运用.

3.本题的结果

因为a2020=2 021×22019，且a1+a2+…+a2 019=S2019=2 019×22019，

评注由于数列的通项及前n项和都求出来了，因此确定试题的结果便顺理成章，授课老师也结束了本题的评讲.反观整个解题历程，似乎碰到了一个假的选择题，解答过程与所花费的时间不亚于一道解答题.但考试时间有限，很难有那么多时间来处理的，学生面对这样的试题，可能会主动放弃，或者明明知道方法又感觉费时，处于“做会花时间，不做又不舍”的纠结中，因此快速破题才是小题教学的根本，如果不能引导学生有一个正确有效的思考方法，换一道试题，错误率高的场景依然会再现.如果评讲就这样结束，试题评讲的效果将会大打折扣.

三、学生的解法

针对本题，课后我询问学生：你是如何解答的？有的学生说也是像老师这样做的，但花费了大量的时间，感觉得不偿失；有的学生说没想到方法，不会做；有的说不是像老师这样做，言下之意他有简单方法.

于是我请学生讲解其解答过程，整理如下：

评注令人惊叹的奇妙猜想及简洁的运算！可能我们会怀疑猜想的正确性，但猜的合理，又不得不令人信服，而且结果也是对的.从题目可以看到，数列的项数较多，且与高考的年份相关，一般情况下该数列会呈现较强的规律性(如周期性等)，因此考虑先求出数列的前几项，观察并从项上找规律.难能可贵的是，学生没有局限于通项公式，而对目标式做了变换，尝试计算出几个与目标表达式相似的式子，从中发现了规律.

这种由特殊结果来猜想一般结论的方法，正是数学上的归纳推理，它是我们教学所需要的，在人教A版必修5数列的章节中，归纳推理的思想大量存在.归纳推理是发现规律，获得新结论的有效途径，数学教育家波利亚在《数学与猜想》一书中就向教师提出倡议：“让我们教猜想吧！”可见猜想的意义是巨大的.

四、结论的证明

五、几点思考

思考1 习题课要教什么？

习题课究竟要教给学生什么？在新知识学习过程中，由于学生还不会应用，因此习题课教学更多的是讲知识，通过习题促进对知识的理解与转化，实现“会”的教学目的.受知识层次的限制，解题方法缺乏多样性，或者多样性不强.高三复习阶段，尤其是后期，由于学生对知识掌握较好，此时学生的错误主要来自两个方面：一是知识遗忘或粗心大意造成的，这一点学生可自行解决；二是因解题方法不当造成的失误.因此，习题课上知识层面的讲解就不再是主要的，在完成必要的补缺后，取而代之的应该是知识背景分析、解题方法的选择与优化，正所谓“授之以鱼不如授之以渔”，通过习题(主要是错题)教学，实现举一反三的目的，在同类问题中学会选择方法，由能做、会做上升到快做，毕竟高考考场上做题速度和准确度是至关重要的.

思考2 习题课教学谁是主体？

习题课教学是揭示学生在学习中存在的问题，查找对策的.因此课堂上学生才是主体，让学生充分暴露自己的问题，然后对症下药.“药方”可以来自老师，也可以来自学生，有时学生的“药方”更好，既能充分调动学生的学习热情，还可以暴露出更多意想不到的问题和方法.如果教师一味地讲，也只能代表个人看法，难免会有局限性，学生能接受多少也很难说.作为老师，课堂上我们主要是发现问题，帮助学生分析出错的原因，高屋建瓴地提出解决方法，把学生引导到正确的解题道路上来.

思考3 二轮复习如何开展？

经过一轮复习的系统梳理，学生对所学知识进行了一次集中再认识，但难免会出现理解不到位的情形，甚至有些知识因为不熟悉或不会用而再次成为盲点.二轮专题复习在消除“知识点”的缺陷的同时，应该强化“知识面”的融合.如果用讲题来代替知识的系统化和方法的合理化，这样就会成为一轮复习的加强版，从而忽视重点和难点，淡化了能力的提升.二轮复习应该结合学生实际，在专题框架下精心设置几个微专题，通过例题将相关章节的知识点串联起来，灵活运用，有针对性地解决学生存在的问题，效果会更好.

思考4 学生如何提高做题效果？