利用几何画板解决图形旋转问题的策略研究

张 骅 (江苏省苏州市第一初级中学校 215000)

孙其芳 (江苏省苏州市景范中学校 215000)

1 现状分析

《义务教育数学课程标准(2011年版)》提到：在探索物体的位置关系、图形的特征、图形的变换以及设计图案的过程中，(要求)进一步发展(学生的)空间观念．通过对近几年中考题型的分析也可以发现，图形变换在几何题目中的占比越来越高．初中数学主要的图形变换有三类：平移、轴对称和旋转，而图形的旋转变换是三者中相对比较复杂和难以掌握的．初中阶段的学生囿于空间想象力的不足，往往缺乏对于旋转变换的整体性理解．大部分学生还局限于靠识记和简单套用性质定理和个别固定模型去解决问题，这与课程标准的要求是背道而驰的．而且在课堂教学中教师还仅仅靠黑板、PPT等静态演示来展示图形的动态变换，这让学生无法建构出正确的空间形象，当然以此为手段来发展学生的空间观念也就无从谈起了．

图1

比如以下这个例子：如图1，菱形ABCD的边长为1，∠ABC=60°，E,F分别为BC,BD边上的动点，且DF=CE，则AE+AF的最小值为．

这是去年8年级下学期期末测试里的一道填空压轴题，结果是全军尽墨，学生测试后大多反馈说无从下手，部分成绩较好的学生认为是将军饮马问题，但又困惑于点E和点F是有关联的双动点，不知该如何处理．问题出在哪里？为了了解学生对图形旋转的掌握程度，笔者设计了一些习题，分别给两组学业水平相近的学生进行测试．

图2

题1如图2，将△ABC绕点A逆时针方向旋转100°，得到△AB1C1．若点B1在线段BC的延长线上，则∠B的大小是多少度？

题2如图2，将△ABC绕点A逆时针方向旋转100°，得到△AB1C1．若点B1在线段BC的延长线上，则∠BB1C1的大小是多少度？

设计意图两题条件完全一样，△AB1C1由△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到，题1中旋转前后的对应线段夹角都应该等于旋转角度100°，即∠BAB1=100°，再利用等腰三角形的性质就不难得到结果为40°，从测试的结果来看本题的得分率接近0.90．而题2改为求∠BB1C1的大小，得分率约为0.72，并且通过答题后询问答对的学生，发现都是先求出∠BAB1=100°，然后利用等腰三角形的性质得到∠B=∠BB1A= 40°，接着利用旋转对称性质得到∠C1B1A=∠BB1A=40°，最后通过相加得到结果为80°．可是如果学生对于图形旋转能有一个整体性的感受，就会发现线段B1C1是由线段BC以点A为旋转中心旋转100°得到，所以∠BB1C1的邻补角等于100°，马上可得∠BB1C1=80°．

通过对比以上两个题目不难发现，在旋转图形中以旋转中心为一端的对应线段夹角等于旋转角比较容易发现，而远离旋转中心的对应线段所在直线夹角等于旋转角这一知识点往往成了学生的认知盲点．笔者又设计了以下这个问题：

图3

题3如图3，正方形OABC置于坐标系中，点B的坐标是(-4,4)，点D是边OA上一动点，以OD为边在第一象限内作正方形ODEF．问CD与AF有怎样的位置关系？

设计意图本题条件中虽然没有直接旋转的信息，但如果细心观察就可以发现△AFO是△CDO以点O为中心、顺时针旋转90°得到的，这样就可以得到两条对应线段CD和AF夹角也应该是90°．而学生还是通过采用延长线段CD，利用三角形内角和计算的方法得出答案．

2 对策研究

通过上面的两个例题可以发现，进行一些适当的图形的旋转变换训练对培养学生的几何直观和空间想象力是非常重要的．要想培养几何直观想象力，光靠传统的浅层训练只能是纸上谈兵，教师还需要帮助学生积累基本活动经验，让学生在做中学，领悟蕴含其中的基本数学思想．下面就来介绍一下笔者借助几何画板针对此类题型所开展的一系列教学活动．

图4

题4如图4，在网格图内有一条线段AB及线段外一点O，试过点O作线段AB的垂线．

画板操作具体步骤如下：

第一步：过点A,B作格点上的线段，构造直角三角形△ABC；

第二步：使用旋转功能，将△ABC绕着任一点(比如点C)旋转90°得到△A′B′C；

第三步：把A′B′按照向量B′O平移到点O，得到线段OP．

完成后再提问：

(1)图中的两个三角形中哪些线段是相等的？为什么？

生1：AC=A′C，BC=B′C，AB=A′B′．因为旋转前后的图形是全等的．嗯，OP也等于AB，因为平移不改变线段长度．

(2)这些对应线段的位置关系是什么？

生2：对应线段都是垂直的．

(3)产生的原因是什么？

生3：旋转前后的对应线段相等，旋转前后的对应线段所夹角等于旋转角．

(4)OP和AB的位置关系是什么？

生4：应该也是垂直关系，可以通过平移的传递性证明．

设计意图笔者通过这几个问题试图让学生认识到旋转变换前后图形的对应关系，借助网格图可以让学生更直观地发现对应线段的相关关系，在解决问题的同时让学生感受到利用几何画板研究几何的价值和乐趣．

题5指导学生利用几何画板画出△ABC关于点A的旋转对称图形△AB′C′．

画板操作具体步骤如下(已知△ABC)：

第一步：以旋转中心(点A)为圆心，以点B,C到圆心的距离为半径各画一个圆；

第二步：在大圆上取一点C′，以点C′为圆心、BC长为半径作圆，与小圆有交点，其中之一为点B′；

第三步：连结AB′,AC′,B′C′，就得到了与△ABC成旋转对称的△AB′C′．

完成作图后，还是给学生留几个问题去思考：

(1)请使用度量长度的功能观察两个三角形有哪些线段是始终相等的？

生1：AC=AC′，BC=B′C′，AB=AB′．

图5

(2)请使用度量角度的功能观察两个三角形对应线段所在直线的夹角大小是什么关系？

生2：对应线段所在直线的夹角都相等．

(3)产生的原因是什么？你还能得到哪些结论？

生3：旋转前后的对应线段相等，旋转前后的对应线段所在直线的夹角等于旋转角．

(4)试着拖动点C′看看会有什么变化？以上的结论是否成立？

生4：会发现△AB′C′在绕着点A转动；但不管如何变化，以上结论始终成立．

(5)旋转角度为90°，60°时你又会有什么新的发现？

生5：会发现对应线段组成的三角形是直角三角形或等边三角形．

设计意图几何画板本身具有旋转菜单，可以直接做出三角形旋转的效果，但借助几何画板采取画圆的方式作图，主要的目的是：(1)加强旋转和圆的联系，为学生之后圆的学习增加兴趣、埋下伏笔；(2)培养学生用尺规作图的眼光来绘制图形，用数学的原理(全等判定中的边边边原理)反思和理解绘图的相关做法；(3)点C′是圆上的自由点，学生选择这个点任意拖动的同时，整个图形也随之任意地绕着选择的中心旋转，学生就可以利用这一性质通过随意调整旋转角度，去发现不同的旋转角度会带来哪些不同的性质；也便于从中总结出一些不因旋转而改变的规律．

3 实战应用

笔者发现通过以上几题的训练，学生对于图形旋转变换的理解已经有了一定的提高，接下来就可以入手几个更有深度的几何最值问题．比如将军饮马问题，这一直是一个热点问题，其主要的解决方案是结合轴对称图形性质和“两点之间线段最短”来求出两条线段和的最小值．它的特点是两定点一动点，在此基础上提高难度就会出现一些双动点的将军饮马问题，例如下面几题需要利用图形的旋转变换进行问题的转换．

题6如图6，已知在正三角形△ABC中，AB=2，CD为AB边上的高，点E,F分别在BC,CD上，且满足CF=CE，求AE+AF的最小值．

图6 图7

题7如图8，已知在正方形ABCD中，AB=1，点E,F分别在边AC,AD上，且满足DF=AE，连结BE,BF，求BE+BF的最小值．

图8 图9

图10

最后回到本文开篇的问题，由于之前的铺垫，很多学生已经有了足够的信心来解决这个难题了．这里主要还是通过图形的变换来解题，介绍两种方法．第一种方法：如图10(这是学生在用几何画板画题图时发现的)，因为要作线段DF=CE，根据尺规作图的原理作半径为EC的⊙D，观察易得DG=CE，根据等边三角形的性质不难得到AG=AE，这样本题就可以划归为题4的解法了.第二种方法：如 图11、图12，把△AFD沿向量DC平移，得到△BF′C，这样问题就转化为CE=CF′，求AE+BF的最小值．再把△B′C绕点C顺时针旋转30°得到△B″EC，最后还是通过将军饮马模型得到结果．

图11 图12

4 研究反思

几何画板是一种非常适合教师日常进行解题、命题和备课的工具，而在课堂教学中经常使用它也往往会引发学生的浓厚兴趣.在初次经历几何画板在几何学习中的方便、强大和趣味性后，会有很多学生想要接触使用这个软件，笔者就顺水推舟地将它推荐给学生，教会这些学生一些基本操作后，结果学生们回馈了很多奇思妙想，这也让笔者不禁反思该如何更好地实现教学相长．因而当笔者看到一个能充分利用图形变换的难题时，就认为这是一个激发学生兴趣、培养学生主动探索能力的机会.如果仅仅将这道题目的解法简单地灌输给学生，那学生的思维只能停留在浅层，达不到深层思考的目的．通过本题的相关教学活动，笔者对于使用几何画板辅助教学有了一些思考，供大家指正：

(1)几何画板的强项是动态展示，这一点正好贴合了新课程标准对图形变换的重视，所以在画图时要尽量展现出这一点．

(2)作图时尽量使用尺规作图的技巧，适当减少使用变换菜单，这样可以让学生找到图形变换的基本规律．在上文中，旋转的点并不是在整个平面内自由运动，而是在一个确定的圆周上运动，同时整个旋转图形在转动时各个点、各条线也有其关联性，而且是始终保持不变的．

(3)及时归类翻新，对于日常研究的作品应认真归类，方便日后时时回味，添添线、变变角，不经意间可能一个新的题型思路就被探索发现了．

总之，几何画板作为一款辅助教学软件功能强大，适合初中阶段的学生用来探索几何问题，其中的规律性和开放性可以帮助学生去猜想、实验、探索、总结，从而提升学生数学思维的条理性和想象力．