中学时期的找规律题型总结

山东财经大学 马小丫

关于找数字之间规律的几点说明：

1.给出数据，问通项公式。在做选择题时可直接代入检验，但往往选项与选项之间的差别较小，代入前几项很难排除，后几项的计算量较大。

2.找规律至少是三项，只有两项具有无数种通项。

3.当遇到图形问题时，可适当地转化为数字问题，运用“数形结合”的思想。

4.费马猜想的错误。

猜想：当n为非负整数时，+1是一个质数。

通过验证n=0，1，2，3，4 这五个事实，得出此猜想。最后被欧拉举出反例：n=5时，+1=641×6700417,不是质数。

这个事例告诉我们，由个别事实的数量特征，通过归纳得出对所有对象都成立的一般特征时，使用的是不完全归纳法，可能正确，也可能不正确。我们要想说一个定理不成立，只需要举出一个反例即可；而要说明它成立，则需要严格的证明。

当然，在做数字类找规律的题目时，往往只需要前三项即可得出结论。

一、一次型

前后两项差恒为常数，为等差数列形式。

（一）通用公式为“第一个数+定值（n-1）”。

证明过程：（运用累加法）设第n项为an，任意前后两项的差为d，则有：

a2-a1=d，

a3-a2=d，

a4-a3=d，

……

an-1-an-2=d，

an-an-1=d。

令各式相加，再用倒序相加法易得：an-a1=(n-1)d，

所以通项公式为an=a1+（n-1）d。

（二）万能方法（待定系数法）：确定为一次型，可设通项为y=kn+b，将其代入前两项，即n=1，2时的情形，即可解得k，b。

二、二次型

证明过程：设第n项与第（n-1）项之间的差的通项为an-an-1=nd+b，则有：

a2-a1=2d+b，

a3-a2=3d+b，

……

an-an-1=nd+b。

同样用累加法可得：

（2）建设骨干网 DDoS 防护系统。建设流量清洗系统，各省根据网络覆盖情况配置一台或两台引流路由器，用于策略集中配置及流量汇聚。完善流量封堵功能，实现攻击流量分区域封堵。

这是一个二次函数形式的数列。

方法1：通过类似的推导过程，当发现前后两项差的通项公式为一次函数形式时，可通过累加法，采用倒序相加法进行求和。

例1：求数列1，3，6，10……的通项公式。

解：后一项与前一项的差分别为2，3，4……

第n项与第（n-1）项的差为n，则有：

a2-a1=2，

a3-a2=3，

……

an-an-1=n。

方法2：凑模型法。

模型2：数列1，4，9，16……的通项公式为：n2。

1.首先判断是否为二次型，即任意两项之间的差是否为一个等差数列。

2.判断为哪一种模型的二次型。拿到要求的数列，往模型1或模型2上凑，看与哪个模型形式更接近。大多数二次型可通过项的变换（如向前、向后移项或四则运算得到）转换为模型1或模型2。

（2）如若是模型1或2进行加减乘除变换，只需要让模型中的通解进行相应的加减乘除变换，整理后即可得通解。如：2，5，10，17……通过观察，对其进行加减乘除运算可知为模型2中相应的项+1得到的结果，所以通项为n2+1；又如：3，7，13，21……比较可 知：n=1，a1=3=1+2=n2+n+1；n=2，a2=7=4+3=n2+n+1；n=3，a2=13=9+4=n2+n+1……综上可得通项公式为n2+n+1。

方法3：如果实在不好凑，可选择“万能方法”：利用待定系数法。

由于得知为二次型，故可直接设为an2+bn+c，代入n=1，2，3时的情况即解得系数，但由于计算量较大，不到万不得已不建议使用。

三、指数型

当前后两项的差成等比数列或等比数列的加减乘除运算（后一项与前一项的比值为常数）时为指数型，如：3，5，9，17……前后两项的差分别为2，4，8……是一个等比数列，此时通项仍为指数函数，且底数与差的底数相同。

证明过程：设第k项与第（k-1）项的差为a0·qk，同样利用“累加法”的思想得到：

各式相加得：

1.基本模型：2，4，8，16，32……其通项公式为2n。

2.同理，当出现对模型进行前后项的平移，如：1，2，4，8，16……即原来的第k项为2k，现在第k项变为2k-1（或判断出平移后直接代入第一个），所以通项公式为2n-1。

3.如若是该模型进行加减乘除变换，只需要让模型中的通解进行相应的加减乘除变换，整理后即可得通解。如：2，3，5，9，17……首先，前后两项的差分别为：1，2，4，8……可判断为指数型，于是往基本模型上靠拢，先将模型移项，再加1，即得通项：2n-1+1。

另外，由于计算量较大，不建议用“万能方法”。