设计数学实验，发展理性思维
——以“三角形中边与角之间的不等关系”为例

浙江省临海市外国语学校 陈灵宝

新课标提出了指向学生终身发展的数学核心素养，包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析，强调学生数学理性思维的养成。初中是学生构建抽象数学知识体系的关键时期，对学生数学核心素养的养成至关重要。本文即以人教版八年级上册《轴对称》一章中的“三角形中边与角的不等关系”实验教学为例，探讨分析如何通过数学实验，一步步引导学生进行理性的数学知识推理和应用。

一、教材和学情分析

1.教学目标

通过动手操作、实验、推理等数学活动，对三角形边与角之间的不等关系进行探索分析；巧妙利用三角形知识进行猜想和推理，形成整体意识；总结规律，建立数学几何空间模型；学用结合，发展严谨的数学理性思维。

2.教学重难点

重点：三角形边与角的不等关系的探索、归纳与应用。

难点：引导学生利用三角形知识进行边、角的大小比较，用实验法培养学生的数学转化思维。

3.学情分析

本节课包含在《等腰三角形》实验探究环节中，承接轴对称和等腰三角形知识。学生通过《三角形》《等腰三角形》两章，对三角形的数学关系已有理解。本次的实验探究与轴对称全等、角关系、线段等基础知识一脉相通。本节课采用趣味性的实验探究法，激发学生动手操作能力，手脑并用，开发初中生个性化的数学思维。

二、实验设计具体方法

数学理性意识与核心素养息息相关，是指用数学眼光观察、分析、推理、抽象的思维方法。帮助学生开发数学理性思维智力，可以使学生进行综合思考，灵活运用数学方法，形成数学创新意识。

1.探索型实验策略——指向抽象逻辑思维

抽象逻辑思维是理性的集中体现，初中生需要在具体的实验中化具体为抽象，不断训练自己的数学思维，将观察所得用理性的数学方式进行推理和表达，掌握数学学习的方法。

【片段1】初步实验，探索新知

师：上节课所学的“等边对等角”适用于哪类三角形？

众生：等边三角形和等腰三角形。

师：那么在边长各不相等的三角形中，边和角又具有怎样奇妙的规律呢？请同学们剪一剪这类三角形并标注字母。

师：请同学们挑出AB＞AC的三角形，如图1，可以看出∠B与∠C的关系吗？

图1

生1：看起来∠C>∠B。

生2：有些模糊，感觉两角差别不大。

师：既然我们用肉眼观察产生了分歧，那现在请同学们亲自动手做一做，看看能否找到比较两角大小的方法。

生3：我 通 过 对 折 使AC与AB重 合，更 明 显 地 观 察 到∠C>∠B。

师：大家差不多都观察到∠C>∠B，那么我们不妨将其作为数学设想，你能用边角相等和内角关系证明它吗？

生3：用轴对称推理。通过对折，我发现原三角形出现了全等三角形。

师：直接推理吗？三角形中如何出现其他三角形？

生3：不，作辅助线，如图2，在AB上截取AE=AC，从A点出发作角平分线交BC于D，连接ED就可得出全等三角形。

师：很好，你作了两条辅助线，还有同学有新的想法吗？

生4：也可以绕过作角平分线这一步，如图3，直接将点E与点C相连作辅助线，形成等腰三角形，用补角关系仍然可以推理出∠ACB>∠B。

图3

生5：如图4，还可以在BC上找一点F，使得AF=AC，然后推理。

图4

设计分析：片段1的教学注重在实验中引导学生利用之前所学进行新知识的探索，教师处在引导地位，激发学生的数学体系观念，将动手操作所得转化为抽象的辅助线、内角补角关系等知识，从而形成理性思维。

2.迁移型实验策略——指向数学建模意识

数学建模立足于现代建构主义学习理论，强调学生对数学知识的主动认知与构建，将数学解题方法上升为普遍性的规律，采用“公式、迁移、变式”等形式，将已经构建起的数学方法进行模型式的创新运用。

【片段2】再次实验，迁移知识

师：我们再从已经剪好的三角形中挑出另外一个∠B＞∠C的三角形，如图5。经过之前的推理，我们已经得出了“大边对大角”的定理，那么我们能肯定大角一定对大边吗？

图5

众生：不能!这是主观猜测，没有经过上述推理证明。

师：我们之前的证明用了何种方法？

众生：用辅助线分割三角形。

师：请同学们进行小组交流，探讨如何通过作辅助线的方式来分析大角是否对大边。

设计分析：让学生在体会“变与不变”之间关系的基础上，形成科学理性的建模思维，让学生明确数学模型不是死记硬背、生搬硬套，而是根据具体的问题具体分析，进行模型的细节变式，从而有效地进行数学探索。

3.归纳型实验策略——指向推理创新意识

推理和创新是基于数学理性的个性化发展，即学生能够运用所学知识进行拓展性推理、灵活思考，在细致的观察和实验中独立地进行知识的创新运用，以实现自身数学理性思维的提高。

【片段3】观察推理，学会创新

师：同学们，我们已经通过推理知道了“大边对大角”“大角对大边”的定理，现在你们也是一名小小的教师了!大家手中有许多已经制作好的三角形，请你运用这两个定理去描述你手中的三角形吧！

生1：根据“大边对大角”原理，在△ABC中，如果BC>AB>AC，那么∠A>∠C>∠B。

生2：我还发现了如果三角形最长的边所对的角是锐角，那么这个三角形一定是锐角三角形，也是应用“大边对大角”的原理。

设计分析：在实验中肯定学生的价值，帮助其树立自信心，这种实验探索方式可以让学生大胆地进行个性化的观察和知识延伸，对数学知识产生自己的科学理解，并且促进学生基于数学理论进行深层的数学创新。

4.应用型实验策略——指向理性应用能力

数学应用能力是数学学科工具性价值的体现，学习的最终目的在于合理运用。要想培养学生的数学理性思维，不能只依靠实验进行知识传授、抽象记忆，而是要适当扩展，引导学生利用所学进行实际应用。

【片段4】实例应用，理性思考

师：请同学们剪一个如图6所示的直角三角形，这是一个特殊三角形，它的哪条边最长呢？

图6

师：通过观察实验、结合知识，同学们发现哪条边最长了吗？

众生：斜边。

师：为何是斜边呢？你的理由是？

生1：因为三角形内角和是180°，直角是90°，所以直角三角形内直角最大，它所对的边，也就是斜边，肯定也最大。

生3补充：这是大角对大边原理。

师：还有别的方法吗？斜边和直角边还有什么关系？

生2：两点之间，线段最短。

师：很好，这是我们学习线段时用到的知识点，在直角三角形中也适用。同学们拿起自己手中的直角三角形，以顶点为中心，仔细观察三边关系，你可以推理出“斜边最长”的定理吗？

设计分析：片段4仍然采用实验法策略，让学生结合所学进行知识的推理和应用探索，更加注重学生知识的构建和独立的数学应用，引导学生在知识应用过程中进行数学思维的锻炼和提升，掌握理性的数学推理方法。

三、设计反思

数学实验教学应该具有连续性、趣味性和开放性，以兴趣激发学生的好奇心为基础，实现学生的个性化数学思考。教师结合实验过程进行有目的的开放性引导，促进学生的有效参与，把更多的主动权交给学生，使学生在逐层深入的实验探索中进行数学推理、建模和空间符号抽象，内化数学知识，通过有意义的实验真正提高初中生的数学理性思维。