聚焦高考选做题中的解不等式问题

谢志平

《不等式选讲》在高考中作为选做题以一道解答题的形式出现，主要考查不等式的证明及解不等式。其中解不等式往往考查含绝对值不等式及相关的综合问题。本文尝试总结解绝对值不等式的基本题型与一般思路，希望能对同学们在新高考模式下不等式复习提供一些帮助与启发。

考向一：含有一个绝对值的不等式问题例1（2021年山西高三月考）已知函数f（x）=2|x-1|，求不等式f（x）《3x-4的解集。

解法一：由题可得2|x-1|《3x-4，所以-（3x-4）《2（x-1《3x-4.解得x》2，所以不等式f（x）《3x一4的解集为（2，+）。

解法二：原不等式可等价转化为（x-1>0，

或（x-1<0，

（2（x-1）<3x-4，（-2（x-1）<3.x-4，解得x》2，所以不等式f（x）《3x-4的解集为（2，+o）。

点评：此类题目，同学们可以直接利用“|f（x）|》a（a》0）台f（x）》a或f（x）《-a，以及|f（x）|《a（a》0）臺-a《f（x）《a”或分类讨论去绝对值求解。一般以基础题为主，往往选择公式法直接解。

考向二：含有两个绝对值的不等式问题1.利用几何意义解绝对值不等式

例2解不等式|x+1|+|x-1|《4。解析：如图1，在数轴上，记M，N分别表示数一1与1，P表示数x，|PM|，|PN|分别表示|x+1|与|x-1|，则|PM|+|PN|《4。观察数轴，当点P在一2到2之间运动时，|PM|+|PN|《4，所以-2《x《2。

点评：初中已经学过数轴法，根据绝对值的几何意义，利用数轴可以解决一些简单的含绝对值的不等式，比如：|x+al+|x+b|《c。

2.利用分类讨论解绝对值不等式

例3（广西2021届高三质检）已知函数f（x）=|2x+3|。

（1）求不等式f（x）《3+|x-1|的解集;（2）若不等式f（x）》2a-|2x-2|对任意ER恒成立，求实数a的取值范围。

解析：（1）因为|2x+3|-|x-1|《3，

点评：解答绝对值不等式问题的本质是去绝对值，而分类讨论是最基本的处理手段。

第（1）问找到两个临界点和1，分三段讨论，迎刃而解。第（2）问除了用分类讨论求出y的最小值，还可以用绝对值的三角不等式“若a，b为两个实数，则|a+b|《|al+|6|，当且仅当ab0时等号成立”加以解决，即|2x+3|+|2x-2|>|2x+3-2x+2|=

3.利用图像法解绝对值不等式

例4（陕西安康2021届高三联考）已知函数f（xc）=|x+3|-|x-1|。

（1）在平面直角坐标系中画出函数f（x）的图像，并写出f（x）的值域;

（2）若f（x）《lx+a|恒成立，求实数a的取值范围。

由图像可得f（x）的值域为【-4，4】。

（2）在同一平面直角坐标系中画出y=|.x+a|的图像，如图3所示，当y=lx+a|过点（1，4）时，a=3或一5。

由图像可知-a《-3，所以a》3，即实数a的取值范围为【3，+）。

点评：第（1）问利用零点分段得到函数的解析式，画出图像;第（2）问利用数形结合的方法，确定图像的临界情形，简单直观地揭示了问题的本质。在含绝对值的恒成立问题中，除了上述方法，同学们还可以利用分离参数法，转化为求函数的最值或值域问题加以解决。

4.利用平方法解绝对值不等式

例5（2021年福建福州期中）已知函

点评：本题中先判断出函数f（x）是偶函数，偶函数在对称区间上单调性相反。根据单调性列出不等式|2x-1|《|x|，两边平方解绝对值不等式，可以避免分类讨论，但同时也要注意转化的等价性，保证两边都是非负数。

5.含有参数的绝对值不等式问题

例6（2021年湖南长沙高三模拟考试）已知函数f（xc）=|2x+a|+1。

（1）当a=2时，解不等式f（x）+x《2;

点评：本题考查了绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式的应用，以及函数的最值问题。首先解决关于ε的不等式有解问题，转化为b《g（x）max，之后再把a当作变量，转化为不等式有解问题。同学们要重视利用分离参数构造函数法解决不等式有解或恒成立问题。

（责任编辑王福华）