基于深度学习的初中数学建模探究
——以“二次函数图像中线段和差最值的存在性问题”教学设计为例

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初中数学建模学习是指在理解的基础上建立数学模型，类比迁移，运用数学模型批判地学习新思想、分析事实，并将新知识融入原有的认知结构中，进而提升学习层次和探究能力。

初中数学建模教学的一般思路是“提出问题——分析问题——选择模型——建立模型——得出结论”，以问题的探究为主要目标，引导学生学会大胆质疑、思想碰撞，产生火花，从而让学生思考得更深刻，有效提升学生思维的广度和深度。笔者以“二次函数图像中线段和差最值的存在性问题”教学设计为例进行了实践性的思考与总结，谈谈教学设计中的深度学习应呈现出什么样的状态，教学设计在建模学习的过程中能够发挥什么样的作用，建模学习是如何帮助学生进行深度学习的，请同行指正。

学习目标要求本课内容为九年级数学复习课“二次函数图像中线段和差最值的存在性问题”，要求学生能通过对具体问题的分析，体会函数变量之间的变化关系，探究发现几何中线段和差最值的转化与建模途径，培养学生综合运用知识解决二次函数的相关问题的能力。

一、提出问题

提出要探究的问题，引导学生寻找解决问题的数学模型，设计具有挑战性的问题，培养几何直观、运算与推理能力，建构知识，生成能力，迁移方法。

教学活动1探究下列问题，画出对应的几何模型

问题1抛物线y=2x2-12x+16与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D。点P是该抛物线对称轴上的一个动点，要使得△PAC的周长最小，求点P坐标。

解析：如图1，连接BC，交直线x=3于点P，根据对称性有PA=PB，求出直线B C的表达式为y=-4x+16，∴点P（3，4）。

图1

【设计意图】找出点A关于直线x=3的对称点B，连接CB，依据“两点之间线段最短”揭示此类求线段和最小值题目的本质特征，为学生解决后续问题铺设台阶，有效提升学生识图建模能力。

二、变式探究

在不改变知识本质特征的前提下，变换其非本质特征，引导学生在动态变化的情境中强化对本质特征的理解，将已有的知识迁移到动态的情境中，理解数学模型的价值，探究真问题，拓展数学思维的深度和广度。

教学活动2 梳理数学模型，寻求问题1和变式问题的内在联系

变式1抛物线y=2x2-12x+16与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D。抛物线上有一点E，E的横坐标为5，点F（m，0）是x轴上的一个动点，当F C+E F的值最小时，求m的值。

解析：如图2，作点E关于x轴的对称点E′，连接C E′交x轴于点F，求得直线C E′的表达式为根据两点间线段最短，F C+E F=FC+E′F=CE′，此时F C+EF的值最小

图2

变式2抛物线y=2x2-12x+16与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，点G(0，n)是y轴上的一个动点，求线段GD与G A中较长的线段减去较短的线段的差的最小值与最大值，并求出相应的n的值。

解析：如图3，当A、G、D三点共 线 时，|GD-GA|=AD，求得直线A D的表达式为y=-2x+4，此时G(0，4)，∴n=4。当G′D-G′A=0，即G′D=G′A时，|GD-G A|有最小值为0。此时AD的垂直平分线G′E的表达式为

图3

变式3抛物线y=2x2-12x+16与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，K是O C中点。一个动点Q从K点出发，先经过x轴上的M点，再经过抛物线对称轴上的点N，然后返回到C，如果动点Q走过的路程最短，请找出点M、N位置，并求出最短路程。

解析：如图4，根据对称性分别找出点K、点C的对称点K′、C′，再连接K′C′，分别交x轴于点M，交直线x=3于点N，动点Q的最短路程为S=KM+M N+CN=K′M+M N+C′N′，∴S=K′C′。可 求 出C′(6,16)，K′(0,-8)，∴最 短 路 程S=

图4

【设计意图】以上问题及变式，强化了学生对数学模型的认识、积累。学生通过寻找对称点，求解线段和、差最值问题，掌握方法与策略，再通过变式训练，便真正能知其然，更能知其所以然。学生经历化繁为简、转难为易的深度思考，学会在新情境中运用新结论解决问题，深度学习的雏形初现。

三、拓展提升

设计思维清晰的系列问题，引导学生感知求解方法是建立在数学模型基础上的。通过对比上述建模解题的方法，积累经验，引发学生深入思考，真正将其内化，实现由低阶思维走向高阶思维。

教学活动3 体验建构过程，挑战新问题

问题2如图5，已知一条直线与抛物线y=相交于A、B两点，其中点A、B的横坐标分别是-2、8。

图5

（1）求这条直线的函数表达式；

（2）如图6，设直线AB分别与x轴、y轴交于点D、E，F为OD的中点，将线段O F顺时针旋转得到O F′，旋转角α(0°＜α＜90°)，连接D F′，EF′，求的最小值。

图6

解析：（1）求出点A、B的坐标为点A(-2，1)，B(8，16)，直线AB的表达式为

又∠F′O G=∠E OF′，∴△OF′G∽ΔO E F′，有F′G=当D、F′、G三点共线时，的值最小

【设计意图】拓展深化一类数学问题，引导学生明晰数学方法的多样性，体验利用构造相似三角形的手段，巧妙转化线段的长度，类比迁移，优化求解线段和最小值的方法。学生经历建模转化的过程，体会其中的数学思想方法，形成数学的思维方式。

四、延伸升华

真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，得到必要的数学思维训练，获得广泛的数学活动经验，深入思考问题本质，让深层次思考成为建模探究的必然之需。

教学活动4 理解模型，感悟思想

问题3如图7，已知一次函数y=x+3的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c过A、B两点，且与x轴交于另一点C。

图7

（1）求b、c的值；

（2）如图7，点D为AC的中点，点E在线段B D上，且BE=2ED，连接CE并延长交抛物线于点M，求点M的坐标；

（3）将直线AB绕着点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G，连接C G，如图8，P为△A O G内一点，连接P A、PC、PG，分别以AP、AG为边在它们的左侧作等边三角形APR、等边三角形AGQ，连接Q R。

图8

①求证：P G=RQ；

②求PA+P C+PG最小值。

解析：（1）b=-2，c=3；（2）直线C E的表达式为；（3）连接C Q，PA+P C+PG=P C+PR+QR≥C Q，∴当C、P、R、Q四点共线时，P A+P C+P G有最小值。求得

【设计意图】问题3为学生提供多角度、多层次的探究空间，从绕旋的角度发现△PAG≌△R A Q，将问题2的解法自然迁移至此，类比探究方法，教学设计环环相扣，层次分明，思维训练指向核心问题。

五、教后反思

1.建模构造，积累策略。

合作式建模学习方式，能促使学生集思广益，找到解决问题的最优策略。本课例以一个二次函数最值问题为中心，让学生在教师设置的变式问题的引导下，建构基本几何模型，依靠已有的知识经验和思维实践活动主动地解决问题，以达到培养学生发现问题、养成探究的习惯与态度的目的。

2.分解模型，正向迁移。

将要解决的问题抽象分解出基本模型，从而得到解决问题的方法。如何破题，如何分享解题思路，有几种解题方法，其中蕴含的数学思想方法是什么，题目的易错点在哪里等。在分解模型的过程中，引导学生学会对重点问题、难点问题深入思考，充分打开思维，对问题进行深度剖析。通过一题多解、多题一解，学生的思维充分碰撞，闪现出创造的火花，创新意识、归纳总结能力得到有效提升，知识网络得到有效建构，学会思考、表达、耐心倾听，处理信息和反思评价的能力得到提高，思考也向纵深发展。

3.强化意识，提升素养。

倡导独立思考后的小组合作，采用“完整经历数学模型的抽象过程”，积累二次函数背景下线段和差最值问题的学习经验，能强化学生的模型意识。在建模活动完成后，教师要引导学生进行总结，将数学模型内化，成为自己解决问题的一种方法。了解和经历解决实际问题的全过程，促进模型思想的渗透。

“学的真谛在于悟”，通过变式拓展问题，解析数学模型，深度学习，解决真问题，揭示线段和差的最值求法的内在规律。问题情境变化了，但几何图形的基本性质和解决问题的方法没有变化。学生在发现、辨析、反思中领悟数学模型的认知策略，提升学习数学的能力。