归纳推理要合“理”

管景强

【摘要】在小學阶段，适当应用科学归纳推理有利于学生理解数学问题的实质、发展逻辑思维能力、培养良好的思维品质。本文结合实例谈一谈如何在小学数学教学中应用科学归纳推理，让数学归纳推理做到合“理”。

【关键词】归纳 推理 数学教学 应用

一、什么是科学归纳推理

归纳推理是从一类对象中部分对象具有的某种属性而推出这类对象全部都具有该属性的推理方法。归纳推理分完全归纳推理和不完全归纳推理。不完全归纳推理分为枚举归纳推理和科学归纳推理。枚举归纳推理借助于事物外部的、表面的联系做出的一般性结论，不揭示部分对象与其属性之间的因果联系;而科学归纳推理则是根据一类对象中部分对象与其属性之间的因果联系，推出这类对象全部都具有该属性的推理方法。科学归纳推理的特点在于揭示了考察对象和属性之间的因果联系，并以此作为依据而得出结论。

例如：在教学同分母分数加减法时，通过图形验证使学生得到“5/8+2/8=7/8”“3/5-2/5=1/5”，再通过图形验证计算这类同分母分数加减法的算式，然后归纳得到同分母分数加减法的计算法则：同分母分数相加减，分母不变，分子相加减。由有限的例子推出一般的结论，这一过程用到了枚举归纳推理。但如果结合图形讲清“5/8+2/8=7/8”是因为“5个1/8加上2个1/8是（5+2）个1/8，也就是7/8”“3/5-2/5=1/5是因为“3个言减去2个1/5是（3-2）个1/5，也就是1/5”，由此来揭示所考察的对象“两个同分母分数相加或相减”，所具有的属性“分母不变，分子相加减”之间的因果联系，则运用了科学归纳推理。

二、为何要应用科学归纳推理

一是应用枚举归纳推理教学时，结论的可靠性与所研究对象的数量和代表性有关，需要通过大量的交流活动，让对象的数量和覆盖面变得更广大，这样才能提高结论的可靠性。理论上，不论有多少特例支持结论都不能认为这个结论正确，所以枚举归纳推理的结论是或然的。波利亚就曾指出：“不论多少试验性的检验都不足以证明它一定可靠。”

二是科学归纳推理则力求做到“一叶知秋”，通过研究某些例子，揭示对象与其属性之间的因果联系，甚至考察的对象哪怕只有一个时，也可以得到较为可靠的结论。在运用科学归纳推理时，对于每一个例证都要理解对象与属性间的因果联系，这就要求我们必须深入问题，弄清问题的实质。如在比较詈和7/11这两个分数的大小时，有学生是这样比较的：将这两个分数的分子和分母交叉相乘，5×11=55，7×8=56，55<56，所以5/8<7/11。这名同学还例举了其他很多的例子来证明这种方法是可行的。那么，这样比较的依据是什么？实质在哪里？这就有必要让学生弄清楚。可以让学生先将这两个分数用通分的办法比较一下：5/8=55/88，7/11=56/88，55/88<56/88，所以5/8<7/11。再让学生比较两种方法的应用过程，不难发现交叉相乘后的55其实指的是55个1/88，56其实指的是56个1/88，我们只是把这里相同的分数单位1/88省略了，原来交叉相乘的比较方法实质上就是通分！相信学生此时对于交叉相乘比较法和通分比较法之间的联系会有更深刻的认识。所以说在小学阶段应用科学归纳推理，是有利于学生理解数学问题的实质的。

科学归纳推理客观上为学生提供了思维训练的“舞台”，其在推理证明时所涉及的材料多是具体和形象的，推理过程中的一些思考方法和推理能力，也会被迁移到较为抽象的逻辑推理证明中。在上面交叉相乘比较分数大小的例子中，具体的推理过程还可以逐步进行抽象。比如，可以用b/a和d/c表示相比较的两个分数，通分后分别是b×c/a×c和d×a/a×c，接下来就可以比较b×c和d×a的大小。这样可以更好地促进学生向抽象逻辑思维过渡，使学生的逻辑思维能力得到主动的发展。

基于数学推理严密的逻辑性，通过科学归纳推理活动，有利于培养学生良好的思维品质，而数学学习所培养的严谨精神将会让学生受用终生。

三、如何在小学数学教学中应用科学归纳推理

科学归纳推理在推理时需要关注每一个判断的理由和依据，通过分析对象与属性之间的因果联系，对结论的合理性做出有说服力的说明。小学阶段，绝大多数的数学命题都可以使用科学归纳推理得出结论的。

1.通过现实情境来明“理”

在教学“加法结合律”时，学生结合情境列出了不同的算式（28+17）+23和28+（17+23）（如图1）。除通过计算让学生得出结果相等外，还要让学生结合情境思考：第一道算式先求跳绳人数，第二道算式先求女生人数，但最后都是求跳绳和踢毽子的总人数，本质上都是求三个加数的和。学生再寻找现实情境中的例子，利用具体情境进行解释，理解加法结合律的意义，进行科学归纳推理：“三个数相加时，无论先把前两个数相加或者先把后两个数相加，最后求的都是这三个数的和。”这样通过现实情境来明“理”远比列举单调的数学算式要深刻许多。此时，再进行符号化抽象出加法结合律的字母表达式（a+b）+c=a+（b+c）就水到渠成了。

2.借助几何图形来明“理”

同样是运算律，乘法分配律教学则可借助几何图形进行科学归纳推理（如图2）。

先让学生来求大长方形面积，如果合起来算，大长方形长是（2+5），宽是4，面积是（2+5）×4;如果分开算，左、右两个长方形的面积分别是2×4和5×4，则大长方形的面积就是2×4+5×4。很明显这道算式求得的都是大长方形的面积，所以（2+5）×4=2×4+5×4，反之也成立。借助图形，学生容易想到乘法分配律中，相同乘数可看作两个长方形相同边的长度，而相加的另两个数则是两个长方形不相等边的长度。此时，抽象出乘法分配律的字母表达式（a+b）×c=a×c+b×c后，再结合上图，让学生说说a、b、c在图中各表示什么，加深理解。

3.建立知識联系来明“理”

教学“分数的基本性质”时，先通过两道例题得出1/3=2/6=3/9与1/2=2/4=4/8=8/16，接着引导学生观察1/3=2/6=3/9与2/4=4/8=8/16，接着引导学生观察和计算例子中分数的分子和分母是怎样变化的，在充分交流的基础上得出分数的基本性质是“分数的分子和分母同时乘以或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变”。教材提出要求：“根据分数和除法的关系，你能用除法中商不变的规律来说明分数的基本性质吗？”此时不用再纠缠于枚举验证，可以启发学生将这些特例转化成除法算式，如：1÷3=2÷6=3÷9，1÷2=2÷4=4÷8=8÷16，建立起两类式子间的因果联系，使学生明确再换成其他的分数结论也是一样的，这样通过科学归纳推理论证了分数基本性质的合理性。

4.动手实践操作来明“理”

教学“三角形的三边关系”时，笔者设计了操作活动：用长10cm、6cm、5cm、4cm小棒各一根，从中任意选三根小棒，看看能否围成一个三角形？

通过操作，学生得出10cm、5cm、4cm和10cm、6cm、4cm这两种情况下是不能围成三角形，原因是5+4<10而6+4=10。那么，怎么让学生明白只要两个小棒长度的和小于或等于第三根小棒的长度时，一定围不成三角形呢？当然不能通过枚举来验证，这时可以通过学生再次动手操作来明“理”。

5.回归本质属性来明“理”

教学“2和5的倍数特征”时，通过观察百数表中2和5的倍数，得到2和5的倍数的特征，最终得出判断一个数是不是2或5的倍数，只要看个位上的数是不是2和5的倍数就可以了。然而，对于为什么只要看个位就可以判断？超过100的数是否也可以这样判断？有没有反例？在学生心中还有大大的问号。此时，如果能回归数的组成这一本质属性来探明原因，进行科学归纳推理，定能为学生解惑，同时也为后面探究3的倍数的特征背后的原理做好铺垫。我们利用位值原理将一个多位数如2487展开成：2487=2×1000+4×100+8×10+7，引导学生观察展开式，由于1000、100、10这样的计数单位一定是2和5的倍数，所以划线部分必定是2和5的倍数。在此基础上，启发学生思考，任何一个多位数都可以写成类似的展开式，最后一个加数前面部分的和必定是2和5的倍数，所以一个数是不是2或5的倍数，只要看个位上的数即可。