基于微分变换法的变截面压杆临界载荷分析*

杨文秀，滕兆春

（兰州理工大学理学院，甘肃 兰州 730050）

0 引言

压杆的临界载荷是衡量压杆承载能力的重要指标.关于受压弹性杆件及其稳定性［1-2］的相关研究，大多是针对等截面均质材料压杆进行［3-5］.随着科学技术的进步和设计理念的更新，多样化、美观化和经济化的变截面杆已开始在工程中大量使用［6］，工程人员根据杆件不同部位的受力情况或结构需要，进而设计出不同大小的截面，以确保其具有良好的承载能力，如在实际工程中已广泛使用的高压输电塔、通讯信号塔、火力发电烟囱、机翼和水坝等，都采用了变截面的设计理念，也吸引很多学者对其力学特性进行研究［7-8］.在结构稳定性问题中，等截面压杆临界载荷的求解已有Euler 公式或经验公式可以使用，而在变截面压杆稳定性问题中，由于其控制微分方程为4 阶变系数常微分方程，要得到相应的解析解较为困难，因此，一般采用近似方法进行求解.马宝平等［6］采用改进的WKB（Wenzel⁃Kramers⁃Brillouin）法，推导了两端简支边界条件下变截面压杆相应的积分表达式，从而得到若干不同变截面压杆临界载荷的数值解，并与有限差分法的结果进行对比，验证了方法的可靠性；洪振德［9］基于驻势能值原理，利用能量法推出了两端简支变截面压杆稳定临界载荷的计算公式；侯祥林等［10］针对不同约束条件下，变截面压杆稳定性临界载荷的计算问题，结合非线性微分方程数值算法及最优化方法，再根据边界条件满足的函数关系与位型条件构造目标函数，给出一种变截面压杆临界载荷和稳定位型的优化求解算法；楼梦麟和李建元［11］依据Ritz 展开原理，采用模态摄动法建立了求解变截面压杆临界力的半解析解方法，并给出不同截面变化情况下，计算两端简支压杆临界载荷的数值算例.通过分析已有文献可知，变截面压杆临界载荷的计算大多采用有限单元法、有限差分法、能量法、模态摄动法和传递矩阵法等.这些方法中，有的需要较为复杂的前处理或公式推导，有的则对边界条件的处理较为单一，很难全面地解决工程中各种不同约束的变截面压杆.

本文引入一种半解析方法——微分变换法（differential transformation method，DTM）对变截面压杆稳定的临界载荷进行分析求解，其过程相比其他方法简单且精度较高，也适合编程计算［12-14］.DTM 是一种基于Taylor 级数的函数变换，不仅能将线性微分方程变换为代数方程进行求解，而且还能将非线性的微分方程变换成代数方程求解，因而是一种非常实用且颇有价值的方法［15］.目前，国内外还未见采用DTM 分析变截面压杆稳定性的相关报道，因此，本文采用DTM 分析变截面压杆临界载荷问题.根据微段受力及静力平衡关系，建立变截面压杆稳定性的控制微分方程，并将控制微分方程和边界条件进行无量纲化.采用DTM 将无量纲化后的控制微分方程和边界条件进行微分变换，得到包含无量纲临界载荷的代数特征方程.通过编程计算得出4 种不同边界条件下，变截面压杆的临界载荷，并给出变截面压杆的临界载荷值与截面变化系数之间的关系曲线.

1 DTM

DTM 是一种基于Taylor 级数，以多项式形式逼近精确解的方法，常用来求解微分方程或微分方程组.对于变系数微分方程所描述的变参数系统和非线性微分方程所描述的非线性系统，也可以采用DTM进行有效求解.经DTM 变换，可将原微分方程（组）和问题边界条件转换为适合计算机编程的代数方程（组）.原函数f(x)经过微分变换为F[ ]k的定义为［12，14］

逆变换为

由式（1）和（2）可得

由式（3）可知，微分变换法是基于Taylor 级数的展开式，但DTM 不需要对函数的各阶导数都进行求解.当m→∞时，

f（x）可以采取有限项的级数表示，即

2 变截面压杆的控制微分方程及DTM变换

2.1 控制微分方程及边界条件

考虑一个只在xy平面内失稳的细长矩形变截面压杆（图1）.压杆的长度为L、宽度为b且保持不变，假设其高度（h）呈线性变化，并给定x截面处的高度为

图1 变截面受压杆件示意

式中h0为压杆左端的初始高度，β为截面变化系数.压杆左端初始面积为A0=bh0，则x处的面积为

矩形截面左端初始惯性矩为I0=bh30/12，则x截面惯性矩为

选取变截面压杆的微段dx进行分析，忽略横向剪切变形，并根据材料力学中基于欧拉梁理论的挠曲线近似微分方程和静力平衡关系［3］，可得变截面压杆稳定性的控制微分方程为

式中w为压杆的横向位移，也称为挠度；F为轴向压载荷；E为压杆材料的弹性模量.

引入无量纲量

得到变截面压杆稳定性的无量纲控制微分方程为

变截面压杆稳定性问题考虑简支（S）、固定（C）和自由（F）3 种情况.无量纲化的边界条件形式分别为：ξ=0 处，

2.2 控制微分方程及边界条件的DTM 变换

根据DTM 定义及其基本变换关系［15］将式（8）变换为迭代式

式（17）也可以改写为

式中Fˉ表示变量W的微分变换形式.各系数的表达式分别为：

S、C和F这3种情况边界条件经DTM变换后分别为：ξ=0 处，

求解两端简支（S⁃S）、一端简支一端固定（S⁃C）时，将式（18）分别代入式（19）和（22）、式（19）和（23），设，得到含有无量纲临界载荷（λcr）的特征方程如下：

式中Xnij(i，j=1，2)是迭代n次求出的含有λcr的多项式，将其简化为矩阵形式

要使式（25）存在非零解，则

求解两端固定（C⁃C）时，将式（18）分别代入式（20）和（23），设同理，可得出含有λcr特征方程的矩阵形式

要使式（27）存在非零解，则

要使式（29）存在非零解，则

通过求解式（26）、（28）和（30）可得出不同边界条件下变截面压杆的λcr.

3 计算结果及分析

应用MATLAB 商用数学软件进行编程［16］，可得到式（18）在表示不同边界条件式（19）～（23）下变截面压杆的λcr.为了验证研究问题数学模型的准确性以及DTM 在计算中的有效性与精度，给出了变截面压杆的截面变化系数(β)为0 时，也就是将变截面压杆退化到等截面压杆，采用DTM 求解不同边界条件下λcr的数值结果，并将DTM 所得数值结果与文献［17］中等截面压杆λcr的解析解及文献［18，10］的数值结果进行比较（表1）.由表1 可知，DTM 的计算结果相比其他计算方法得出的数值解更接近解析解，可见本文计算方法的正确性和可行性，同时也说明DTM 具有非常高的计算精度.

表1 等截面梁的无量纲临界载荷比较

截面变化系数(β)在0～0.4 范围内，S⁃S、C⁃C、S⁃C和F⁃C 4 种不同边界条件下λcr与β的关系曲线如图2所示.4 种边界条件下压杆的λcr均随β的增大而增大，并几乎成线性变化，即增大β能提高压杆的稳定性.同时表明，在不同约束强度的边界条件下，λcr随约束强度的增强而增大，这一点与等截面压杆完全一致.

图2 不同边界条件下变截面压杆的无量纲临界载荷与截面变化系数之间的关系曲线

4 结论

本文基于细长压杆挠曲近似微分方程理论，建立了变截面压杆失稳时的控制微分方程，并将控制微分方程和边界条件依次进行无量纲化和DTM 变换，计算得到不同边界条件下变截面压杆的λcr，并对4 种边界条件下λcr与β的规律进行分析讨论，结论如下：

（1）当β=0 时，将变截面压杆控制微分方程退化到采用DTM 求解等截面压杆无量纲临界载荷，并将其数值解与解析解进行对比，发现精度较高.

（2）在同一种类型约束边界条件下，λcr随β的增大而增大，即增大β能提高压杆的稳定性.

（3）DTM 具有非常高的计算精度并且更适合计算机编程求解，该方法可为工程结构中变截面压杆临界载荷的计算和分析提供条件.