巧用“粗”直线解决一类零点个数问题

[摘  要] 文章研究了夹在两条直线之间的条形区域表示的“粗”直线在解决交点（零点或解）的个数问题上的应用，并在此基础上锻炼学生的创造性思维.

[关键词] “粗”直线;条形区域;零点个数

有道小学趣味题：画一条直线，把图形（如图1）分成两个三角形.

答案出乎意料，是画一条很粗的直线（如图2）. 结果似乎很滑稽，与其说是数学题，不如说是脑筋急转弯，但想法确实很新奇，突破了思维定式.

其实在平时教学中经常会遇到一些所谓的“粗”直线，本文通过研究教学过程中遇到的类似问题来一起感受“粗”直线的魅力！

例1：若不等式0≤x2-ax+a≤1有唯一解，则a的值为________.

表面上平淡无奇，不过就是两个一元二次不等式的交集问题，实际上仔细思考，此题可以化归为一条“粗”直线0≤y≤1和函数y=x2-ax+a的交点个数问题. 当“粗”直线的上沿与二次函数相切时，恰有一个交点，即不等式有唯一解. 如图3所示.

略解：x2-ax+a=1有且只有一个根，x2-ax+a-1=0，Δ=a2-4（a-1）=0，解得a=2.

例2：（2011江苏卷第14题）设集合A=

（x，y）

≤（x-2）2+y2≤m2，x，y∈R

，B={（x，y）

2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠，则实数m的取值范围是____.

为保证A∩B≠，则首先保证A和B都不空，集合A中≤m2，则m≤0或m≥，集合B不空.

通过分析，可以发现集合B表示夹在直线l：x+y=2m+1和直线l：x+y=2m之间的条形区域，它的图像可以看成是一条“粗”直线.

下面就m≤0或m≥分两种情况来观察：

①m≥，集合A中的不等式表示的图像可以看成是一个圆环，如图4;

②m≤0，集合A中的不等式表示的图像可以看成是一个圆面，如图5.

因为A∩B≠，所以无论是圆环或是圆面，都只需要保证：

圆心到“粗”直线的上沿y=-x+2m+1的距离d≤大圆半径

m

;

或圆心到“粗”直线的下沿y=-x+2m的距离d≤大圆半径

m

.

因为d=≤

m

或d=≤

m

，所以2m2-4m+1≤0或m2-4m+2≤0，所以1-≤m≤1+或2-≤m≤2+（特别注意：并集），所以1-≤m≤2+. 又因为m≤0或m≥，所以≤m≤2+.

通过上述例题，我们发现，关于“粗”直线的基本形态实际为夹在两条直线之间的条形区域，表达形式形如：m≤ax+by≤n等.

例3：（2018南京三模第14题）已知a，b∈R，e为自然对数的底数，若存在b∈[-3e，-e2]，使得函数f（x）=ex-ax-b在[1，3]上存在零点，则a的取值范围为________.

分析：首先我们把本题分解成以下几点来思考：

①函数f（x）=ex-ax-b在[1，3]上存在零点，可以看成ex-ax-b=0在[1，3]上有解，即ex=ax+b在[1，3]上有解，也即y=ex和y=ax+b有交点;

②y=ex在[1，3]上的图像没问题;

③y=ax+b随b的变化图像为夹在y=ax-e2和y=ax-3e之间的带形区域：e2≤ax-y≤3e，即一条“粗”直线;

④存在b∈[-3e，-e2]即这条“粗”直线中的有一条直线和y=ex有交点即可.

显然，当a<0时，不满足题意.

故当a>0时，通过GeoGebra制作的图像，并通过滑动条，使得a不断增大，“粗”直线逐渐接近y=ex在[1，3]上的图像，然后相切，此时，“粗”直线的上沿（y=ax-e2）与曲线相切（如图6）;

[x][O][y]

图6

随后相交，“粗”直线的下沿（y=ax-3e）与y=ex交于点（3，e3）（如图7）;

随着a的进一步增大，当“粗”直线的下沿（y=ax-3e）与y=ex交于点（1，e）时（如图8），“粗”直线开始不再与曲线有交点.

至此a的取值范围从y=ax-e2与曲线相切开始到y=ax-3e与曲线交于点（1，e）结束，思路清晰明了，层次鲜明，难题迎刃而解.

具体操作如下：

（如图6）令切点为（t，et），则切线方程为y-et=et（x-t），过（0，-e2），解得t=2，此时直线斜率a=e2;（如图8）“粗”直線的下沿y=ax-3e过（1，e）解得a=4e，故e2≤a≤4e.

实际解题中，因画图的局限性，须比较过（3，e3）和过（1，e）时的a值大小，此处不再详解.

解题教学是高中数学课尤其是高三教学非常重要的一部分，我们不应以解题为最终目的，而是多注重培养学生知识迁移能力及问题解决能力，在教学过程中促使学生多发现一些美丽的事物、有趣的思想，既能提高学生的学习兴趣，也拓展了学生的创造性思维.