提高数学解题能力 助力学生全面提升

殷久旋 方芳

[摘  要] 数学在高考中的学科地位是不言而喻的，数学解题能力作为数学学习的关键一环，在数学学习中发挥着举足轻重的作用. 文章指出，若想提高学生的数学解题能力，必须重视审题，充分挖掘和发挥例题、习题的典型引领作用，通过对解题方法和解题技巧的积累与探究，从而达到融会贯通的效果.

[关键词] 解题能力;解题方法;解题技巧

数学解题能力不是与生俱来的，也不是一蹴而就的，而是在学习中不断积累和完善的，因此，数学解题能力的培养和提升应渗透于数学的教学过程中. 那么如何提升高中生的解题能力呢？笔者做了一些教学探究，以期一起学习.

[?]认真审题

审题直接影响解题的方向性和正确性，其是解题的基础和前提，因此，要提高学生的解题能力必须从审题能力的培养入手，只有正确地理解题意，才能根据已有认知进行准确求解. 从小学阶段就开始强调审题的重要性，然到了高中仍有部分学生因审题不清而造成失分. 那么如何做到正确审题呢？笔者认为，数学审题应做到以下几点：①读懂题目所要表达的真正用意;②读出题中的隐藏条件;③重视关键词，挖掘问题本质. 但要读懂题中的隐藏条件和挖掘问题本质，需要学生对概念的内涵及外延有着深刻的认识，可以灵活地运用公式和定理，只有扎实的基础知识储备，才能通过细致分析发现隐藏其中的秘密. 例如，（3a-1）y2-5y+2=0是关于y的一元二次方程，很显然其中二次项3a-1≠0即为隐含条件，若审题时忽略该条件，很可能会出现求解错误. 当然，对于本题的隐藏条件大部分学生可以轻松发现，主要是因为学生对一元二次方程的相关知识掌握得较好，由此可见，若要发现隐藏条件，学生一定要重视基础知识的积累.

在审题的过程中也要注重解题思路的引导，若审题时不注重解题思路的引导，很容易造成过度审题，使得挖掘出的知识点过于凌乱，使得解题时发生思维障碍，影响解题效率. 因此，在审题过程中，教师可引导学生根据问题分析法，形成解题思路. 例如，若求函数的最小值，其解题思路可以从以下几方面分析：函数单调性分析;图像法;结合函数属性等，带着解题思路去审题，也大大提升解题效率. 同时，在教学过程中，教师要从学生学情出发，引导学生多角度思考和分析问题，注重通性通法的积累，从而培养学生良好的学习习惯.

[?]充分发挥例题、习题的典型引领作用

学生解题思路及解题能力的培养大多源于例题、习题，因此，若要提升学生的解题能力，就要充分发挥例题、习题的典型性功能，让学生通过掌握典型例题、习题的解题方法而逐渐形成自身的解题能力. 因此，在教学中，教师在讲解例题、习题时一定要讲得细，讲得透，通过合理的变式让学生充分掌握问题的本质. 同时，要引导学生注重量的积累，只有积累足够多典型题目解题方法，才能提升解题的灵活性，从而实现触类旁通的效果.

例1：某数学兴趣小组要测量该市电视塔AE的高度H（单位：m），如图1. 垂直放置的标杆BC高度h=4 m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β.

（1）该兴趣小组测得一组α，β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请根据测量数据算出H的值;

（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使α与β之差较大，可以提高测量精度. 若电视塔的实际高度为125 m，试问d为多少时，α-β最大？

本题是一道高考真题，其与教材中的试题极为相似：

例2：如图2，有一壁画，最高点A处离地面4 m，最低点B处离地面2 m，若从离地高1.5 m的C处观赏，则离墙多远时，视角θ最大？

将例1与例2相对比容易发现，例1中的∠DEB=α-β相当于例2中的θ，若學生对教材中的试题了如指掌，那么例1中第（2）问的求解也就变得水到渠成了.大多数高考题目都与教材中的试题紧密相连，因此，若想提升数学成绩就要挖掘教材中试题的潜在功能，通过不断积累、拓展、联想，深入了解其所蕴含的数学思想、数学方法或数学结论，以此促进思维能力和解题能力的提升.

[?]重视解题方法和解题技巧的积累

数学学习不是熟背概念、公式、定理就可以取得好成绩的，也不是临考强化突击就可以达到立竿见影的效果的，数学解题能力的培养是长期积累的结果，因此，提升数学解题能力需要注意日常的练习和长期的坚持，只有持之以恒才能厚积薄发. 那么，对于日常的练习既要重视基础知识的积累又要有所提高. 对于基础知识，尤其基础运算应引起足够的重视，部分学生往往忽视基础运算，认为运算只要考试时细心就可以，不需要练习，以致因运算能力弱影响解题效率，有时会因为计算错误而失分，得不偿失;对于提高，要重视一些特例的积累和探究，从特例中总结出解题的一般规律及通性通法，从而可以实现会解一题而会解一类题的目的. 另外，教师在教学中要注重解题技巧的探究和深化，从而提高学生解题的效率. 因此，教学中，教师要精心选题，确定解题能力培养目标，通过有层次的安排设计，从而让学生扎实前行，稳固提升.

例3：已知复数z的模为2，求z-i的最大值.

解法1：代数法

设z=x+yi（x，y∈R），则x2+y2=4，z-i==. 因为y≤2，所以，当y=-2时，z-i的最大值为3.

解法2：三角法

设z=2（cosβ+isinβ），则z-i==. 当sinβ=-1时，z-i的最大值为3.

解法3：几何法（如图3）

因为z=2，所以复数z所对应的点Z是圆x2+y2=4上的点，z-i则表示点Z与点A（0，1）两点间的距离. 当z=-2i时，z-i的最大值为3.

解法4：模的性质

因为z-i≤z+-i=2+1=3，当z=-2i时，z-i=3，所以z-i的最大值为3.

同一个问题，教师引导学生从不同的角度去解题，从而让学生感悟数学各知识点间的联系. 在高中复习阶段，要多引导学生从不同角度去思考和解决问题，从而不仅可以丰富解题方法，也可以完善认知结构，通过知识点间的联系形成完整的知识脉络，提升知识的迁移能力. 同时，多种解题方法的应用也体现了个体差异，因个体思维方式不同，其对关键知识点理解的方向也会有所不同，通过一题多解，不仅丰富了学生的知识储备，也让学生通过借鉴和反思提升自身的解题能力.

[?]注重知识点间的转化和迁移

数学题目是复杂多变的，面对复杂的综合题目时，需要学生可以根据所学知识进行合理建构，熟练地掌握解题方法和解题技巧，从而通过解题方法和解题技巧的变换，提升解题能力.

例4：如图4，已知A′B′C′-ABC是正三棱柱，点D是AC中点.

（1）证明：AB′与平面DBC′平行;

（2）假设AB′⊥BC′，求二面角D-BC′-C的大小.

解：（1）连接B′C交BC′于点O，连接OD. 因为A′B′C′-ABC是正三棱柱，所以四边形B′BCC′是矩形，所以O是B′C的中点. 又因为在△AB′C中，D是AC中点，所以AB′∥OD，所以AB′∥平面DBC′.

（2）作DH⊥BC于H，連结OH，所以DH⊥平面BC′C. 因为AB′∥OD，AB′⊥BC′，所以BC′⊥OD，所以BC′⊥OH，即∠DOH为所求的二面角的平面角. 设AC=1，作OE⊥BC于E，则DH=sin60°=，BH=，EH=. 在Rt△BOH中，OH2=BH·EH=，所以OH=，即OH=DH，△DOH为等腰直角三角形，所以∠DOH=45°，即二面角D-BC′-C的大小为45°.

在求解过程中，若二面角的平面角定义掌握不熟，很容易将∠DOC误认为是所求的角，从而造成错误. 本题求解过程中利用了二面角的平面角定义、三垂线定理和解三角形的相关知识，由此可见，在解决综合问题时，既要有丰富的知识储备又要灵活地掌握解题技巧. 面对千变万化的数学问题，若采用生搬硬套固定的解题方法显然是行不通的，因此，在日常的教学和学习中，要重视解题方法和解题技巧的积累与探究，这样在综合应用时才会根据所学知识，大胆地设想并灵活地实施解题方案.

总之，学生数学解题能力的培养并非一朝一夕的事情，需要教师细心的引导和学生长期的坚持，只有师生共同努力才能实现质的飞跃. 因此，在教学中，给学生足够的时间和空间提出自己的想法，从而暴露学生的解题思维，引导学生在解题过程中关注“解此题应该如何做”“为什么这么做”，从而发挥学生的主体作用. 同时，也应充分地发挥教师的引领作用，若学生在解题过程中遇到思维障碍，教师的引导和梳理，可帮助学生走出思维误区;若遇到新想法、新思路，教师及时鼓励可以大大提升学生的学习信心. 相信通过师生的共同努力和坚持，学生解题能力一定会有所提升.