引例提模型，探究生结论

包旭苗

[摘  要] 抛物线中的直线与圆的相切模型有着极高的应用价值，该模型是基于教材常规问题的提炼与总结，实现了圆锥曲线知识与隐圆特性的融合. 开展圆锥曲线探究，建议采用猜想验证、总结拓展的方式，让学生经历探究过程，自我形成新知. 文章以抛物线中的相切模型为例，开展探究教学.

[关键词] 结论;抛物线;直线;相切;模型

圆锥曲线的问题形式十分多样，深入探究可提炼出一些较为特殊的结论，合理应用结论则可以显著提升解题效率. 上述“结论提炼—总结验证—应用探究”的循环模式也是数学探究所极力倡导的，下面对抛物线问题中直线与圆的相切结论进行探究.

[?]引例问题

问题：已知抛物线C的解析式为y2=4x，焦点为F，斜率为k的直线过点F，与抛物线C相交于点A和B. 若点M（-1，1），且∠AMB=90°，则斜率k的值为________.

解析：根据题干条件绘制图1所示图像，设直线与抛物线的交点为A（x，y）和B（x，y），采用点差法可表示斜率k. 可知y

=4x1，

y

=4x2，整理可得y-y=4x1-4x2，所以k==. 取AB的中点为N（x，y），分别过点A和B作准线x=-1的垂线，设垂足分别为A和B. 因为∠AMB=90°，所以MN=AB=·（AF+BF）=（

AA+

BB），点N为AB的中点，则MN与x轴相平行. 又知点M（-1，1），则y=1，由中点坐标公式可得y+y=2，即k=2.

[?]猜想验证

上述问题为抛物线与直线的相交问题，其特殊之处有三点：一是直线过抛物线的焦点，二是点M位于抛物线的准线上，三是交点A，B与点M构成了直角三角形，即∠AMB=90°. 问题虽然探究直线的斜率，但引入隐形圆则可以挖掘图像的特殊之处.

1. 推理猜想

线段AB为抛物线的焦点弦，∠AMB=90°，由“圆的直径所对的圆周角为直角”可知点M位于以AB为直径的圆上，则可绘制图2所示图像. 而点M又在抛物线C的准线上，则以AB为直径的圆与抛物线的准线为相切关系.

由此，做出如下猜想：过抛物线焦点的直线与抛物线交于点A和B，则以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.

2. 结论验证

对于上述猜想可借助抛物线的定义和几何知识来验证.

设AF=

AA=a，BF=

BB=b，已知点M和N分别为AB和AB的中点，所以MN=（

AA+

BB）=（a+b），并且MN⊥AB. 设以AB为直径的圆的半径为R，则AB=2R=a+b，所以可得R=MN，即以AB为直径的圆与抛物线准线l是相切关系.

综上，可得如下结论：AB是过抛物线y2=2px（p>0）焦点F的弦（焦点弦），则以AB为直径的圆与抛物线准线l相切.

3. 拓展应用

分析上述结论，可知对于直线有着一定的限制条件，直线必须经过抛物线的焦点时结论才成立. 在把握图像特点后则可以利用结论来简化引例问题.

由于直线经过抛物线焦点，并与抛物线相交于点A和B，且∠AMB=90°，则点M是以AB为直径的圆与抛物线准线的切点，取AB的中点为N，连接MN，则MN平行于x轴，可推得y=y=1. 设A（x，y）和B（x，y），可将直线AB的方程设为x=ty+1，有y=（y+y）=1. 联立直线AB与抛物线C的方程，整理可得y2-4ty-4=0，所以y+y=4t=2，可得t=，可推得k=2.

[?]结论拓展

上述探究了过焦点直线与抛物线相交的一个特殊结论，对图像进行深入探究，则可以获得相应的延伸结论.

1. 拓展结论

结论1：AB为抛物线的准线，若以AB为直径画圆，E为AB的中点，则圆与弦AB为相切关系，且切点为F，并且有EF2=AA·BB，如图3所示.

对于该结论的证明可从垂直关系入手，证明AF⊥BF，EF⊥AB即可推导出其中的相切关系，结合抛物线定义及几何关系即可推导相关线段关系.

結论2：若以AF为直径画圆，则圆与y轴为相切关系，如图4所示.

对于结论2则可以参考结论1的证明方式来推导垂直关系，进而确定圆与y轴相切.

2. 应用探究

问题：已知抛物线C的解析式为y2=2x，且焦点为F，直线l和l均平行于x轴，分别与抛物线C相交于点A和B，与其准线相交于点P和Q. 若点F位于线段AB上，点R是PQ的中点，试探究AR与FQ的位置关系，并说明理由.

解析：本题目的解法很多，利用过焦点直线与抛物线的相关结论可构建特殊模型，运用模型特点可直接推导几何关系，可极大地降低问题的思维难度.

连接RF和PF，如图5所示，由抛物线的定义可知AP=AF，BQ=BF，结合AP∥BQ可推知∠AFP+∠BFQ=∠PFQ. 直线AB过抛物线的焦点F，则以PQ为直径的圆与直线AB相切于点F，由圆周角性质可得∠PFQ=90°.

点R为PQ的中点，点F，P和Q位于以PQ为直径的圆上，则可得RF=RP=RQ，推理可证△PAR≌△FAR，可得∠PAR=∠FAR. 又知∠BQF+∠BFQ=180°-∠QBF=∠PAF=2∠PAR，所以∠BFQ=∠RAF，从而可得AR∥FQ.

评析：本题解析两线段的位置关系，直线AB过抛物线的焦点，故符合抛物线中的相切模型特点，从而可构建以PQ为直径的圆与直线AB相切，由相切模型推导出了两大核心条件：∠PFQ=90°，RF=RP=RQ，后续的分析则变得更为顺畅.

[?]解题总结

直线与抛物线的位置关系是圆锥曲线探究的重点，引入隐形圆，构建圆类模型则有利于几何关系的分析，上述探究了抛物线中直线与圆相切的三类模型，总结了对应的几何结论. 而在实际分析问题时建议按照如下步骤分步突破.

第一步，关注直线与抛物线的位置特点，判断直线是否经过抛物线的焦点，若直线过焦点且与抛物线有两个交点，则符合本文模型;

第二步，判断关键点的位置，确定模型类型，绘制隐形圆;

第三步，根据圆周角定理推导几何条件，主要包括两类：一是线段等长（圆半径相等），二是直角条件（直径所对的圆周角为直角）;

第四步，结合推理条件进行思路构建，推导点坐标、线段长、直线方程等.

抛物线中的圆与直线相切模型可用于多类型问题的求解，除了上述求直线的斜率、几何關系外，还可以用于分析直线过定点、线段最值等. 实际探究时可参考如下转化思路：由模型中的平行线确定关键点的坐标，由模型的等线段长构建全等三角形，由模型的直角构建直角三角形. 同时可逆向利用模型来分析直线与圆的位置关系.

[?]教学反思

上述围绕抛物线背景中圆与直线的相切模型进行了深入探究，总结了三类模型的相切特点，从模型特点来看可视为是隐形圆的解题应用，整个探究过程按照“引例解析→猜想验证→结论拓展→解题总结”思路循序深入，下面提出几点教学建议.

1. 深剖教材重点，挖掘模型结论

在数学学习过程中，应重视对教材内容的探究剖析，课本的例题均是精心挑选，具有代表性的母题，深剖问题，提炼模型有利于把握问题本质，形成的模型结论可有效提升解题效率. 以上述所探究的相切模型为例，抛物线中过焦点弦问题十分常见，常规思路是联立方程，通过设而不求的方式来转化求解，但相对解题效率低下. 提炼切线模型，通用隐圆性质则可以直接推导关键条件. 实际教学需引导学生关注例题的特征结论，追根溯源，总结模型结论.

2. 注重探究过程，发展核心素养

结论探究建议采用过程突破的方式，引导学生经历思维过程，通过自主探究形成相应的解题策略. 以模型结论的探究教学为例，要注重模型的提炼过程、结论的验证过程，可设计具有针对性的教学活动，通过图像辨析让学生提炼特殊模型，从特殊问题中发现一般性的结论. 同时给学生留足思考空间，提供开放的探究平台来拓展模型，形成系统的知识模型. 探究过程要注重培养学生的逻辑思维，提升学生的建模水平和猜想推理能力.