探究极点极线，应用强化思考

顾芳芳

[摘  要] 极点极线定理定义在圆锥曲线问题中有着广泛的应用，该定理对于学生而言相对较为陌生，但深刻理解，灵活应用，可显著提升解题效率，因此深入探究有着现实的意义. 文章从问题背景、知识定义、定理规律、应用强化等方面深入探究，并提出相应的教学建议.

[关键词] 极点;极线;圆锥曲线;定理;定义;应用

极点极线结论是研究圆锥曲线内在性质的基本理论，虽然在高中教材中体现得并不突出，但其作为圆锥曲线的基本特征，在高考解题中有着广泛的应用，利用该结论可挖掘问题本质，快速确定解题方向，提高解题效率. 该结论备受命题人青睐的原因有两点：一是具有高等数学的背景，拓展性强;二是可以全面考查学生的数学思维，以及推理运算能力，下面对该结论深入探究.

[?]提出问题

问题：已知过抛物线C：y2=4x的焦点的直线与抛物线相交于点A和B，抛物线在点A和B的切线交于点P，则点P的轨迹为________.

解析：探究抛物线切线交点的轨迹，方法有很多，下面探究其中的两种.

传统方法：设直线AB的方程为x=my+1，交点A（x，y），B（x，y）（y>0，y<0），联立直线AB与抛物线的解析式，整理可得y2-4my-4=0. 由韦达定理可得y+y=4m，yy=-4，则有y=2，y′=，可知抛物线在点A的切线方程为y=x+①，同理可求出抛物线在点B处的切线方程为y=x+②，联合①②可得

-

x=-，从而有x==-1，所以点P的轨迹方程为x=-1.

通性通法：可直接设A（x，y），B（x，y），P（x，y），则抛物线在点A处的切线方程为yy=2x+2x，因为点P在该切线上，故可得yy=2x+2x. 分析可知点A和B均满足方程：yy=2x+2x，即该方程就为直线AB. 又知直线AB过抛物线焦点F（1，0），所以2x+2=0，可得x0=-1，从而可知点P的轨迹方程为x0=-1.

[?]问题探究

另外，上述关于点P的轨迹，由轨迹方程可知其轨迹实则为抛物线的准线，利用该方法探究椭圆问题也可得到类似的结论，实际上问题中隐含了圆锥曲线的极点与极线知识，利用该知识可高效解决问题，下面深入探究.

1. 关于极点与极线的定义

视角一：几何定义

如图1所示，点P是圆锥曲线外的一点，过点P引出两条割线，与圆锥曲线依次相交于点E，F，G，H四点，连接EH，FG，两线交点设为点N;再连接EG和FH，两线交点设为点M，其中直线MN就为点P对应的极线. 如果点P位于圆锥曲线上，则过点P的切线就为该点的极线.

同理可知PM为点N对应的极线，点M对应的极线则为PN，所以MNP可称为自极三点形. 若连接MN，与圆锥曲线相交于点A和B，则PA和PB就为圆锥曲线的两条切线. 同时上述作图过程也是两切线交点P对应极线的作法.

视角二：代数定义

已知圆锥曲线Γ：Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0（A，C不全为0），则称点P（x，y）和直线l：Axx+Cyy+D（x+x）+E（y+y）+F=0是圆锥曲线Γ的一对极点和极线. 对于上述方程，在圆锥曲线中可用xx替换其中的x2，用替换x;同时用yy替换其中的y2，用替换y，可得到点P（x，y）的极线方程. 以椭圆标准方程+=1为例，点P（x，y）对应的极线方程为+=1.

2. 关于极点与极线的结论

极点与极线有一些常用的定理结论，合理利用可简化解题过程，具体如下.

定理1：當点P位于圆锥曲线Γ上时，则极线l是曲线Γ在点P处的切线;当点P位于Γ外时，则极线l是曲线Γ从点P引出的两条切线的切点连线所确定的直线;当点P在Γ内部时，则极线l是曲线Γ过点P的弦线两端点处的切线交点的轨迹.

定理2：如果圆锥曲线中存在一些极线共点于点P，则这些极线相应的极点共线于点P对应的切线，逆推同样适用.

【教材回顾】

极点和极线充分反映了圆锥曲线的基本性质，虽然教材中没有对极点和极线进行鲜明的定义，但在教材的解析几何问题中有一定的体现. 如下面一道例题，利用极点与极线的定理结论可较为简捷地完成证明.

例题：过抛物线y2=2px的焦点的一条直线与此抛物线相交于两点，若两个交点的纵坐标分别为y，y，证明：yy=-p2.

证明：由抛物线解析式可得焦点F

，0

，直线l与抛物线的交点可设为点A

，y

，B

，y

，三点对应的极线方程分别为x=-，yy=p

+x

，yy=p

+x

. 由于点A，F，B三点共线，根据极点与极线的定理2可知，三点对应的三条极线共点，将x=-代入后两式中，可得yy=y-，yy=y-，两式相除可得=，整理可得yy= -p2，得证.

评析：例题是一道关于抛物线与直线相交的证明题，可以采用传统的方程联立的方法，也可利用极点极线的知识来求解. 上述充分利用了极点与极线的定义，求出所涉点的极线，并利用对应的定理结论，直接推理出关键三点所对的极线共点，进而简化变形证明结论.

【应用探究】

极点与极线的知识结论虽然不是高中课标的教学内容，也不是高考大纲的重点考查点，但是作为圆锥曲线重要的基本特征，在实际考题中有着一定的应用，也常作为高考命题背景出现在解析几何压轴题中，下面对其知识应用进行深入探究.

问题：已知椭圆M的方程为：+=1（a>b>0），其离心率为，焦距为2，若斜率为k的直线与椭圆M相交于A，B两点，试回答下列问题.

（1）求椭圆M的方程;

（2）若k=1，求AB的最大值;

（3）已知点P（-2，0），直线PA与椭圆M的另一交点为C，直线PB与椭圆的另一交点为D，若点C，D和Q

-，

共线，试求k的值.

解析：（1）M的标准方程为+y2=1.

（2）设直线AB的方程为y=x+m，联立直线与椭圆的方程，整理可得4x2+6mx+3m2-3=0. 由Δ>0可得m2<4，设交点A（x，y），B（x，y），由韦达定理可得x+x= -，xx=，则AB=·

x

-x=，易得当m=0时，AB可取得最大值，且最大值为.

（3）过点P作椭圆M的两条切线，设切点分别为点G和H，连接GH，设与AC的交点为S，与BD的交点为T，再设直线AB与CD的交点为点R，如图3所示.

由极点与极线的定理可知，点P关于椭圆M的极线为GH. 将点P（-2，0）代入+=1中，可求得直线GH的方程为x=-，与椭圆M方程联立，可解得点G的坐标为

-，

，从而可求得直线PG的斜率为k=1. 根据极点与极线的性质可知（PS，CA）=-1，又因点Q

-，

，点P（-2，0），可知点Q为线段PG的中点. 设点E是直線PG的无穷远点，结合相关知识可得（PG，QE）=-1，即有（PS，CA）=-1=（PG，QE），于是直线GS，QC，AE共点. 由于直线GS，QC相交于点R，因此直线AR的无穷远点也是点E，所以可证AB∥PG，即k=k=1.

极点与极线在圆锥曲线问题中有着广泛的应用，上述充分探究了知识定义、定理，并结合考题展示了极点与极线的知识应用，从而可感知到极点与极线知识内容的丰富性，深入探究极点与极线知识，不仅可以拓宽学生的知识维度，还可以拓展学生的思维，培养学生分析数学内在关系、挖掘定理关联的思维习惯.

随着课改的推行，命题教师越发注重初、高中数学的衔接，关注高等数学的知识素材，高考试题中出现了一些拓展性极强的综合性试题，问题难度虽大，但解法的拓展性极强. 高观点的角度看待问题，深入研究问题的本质，挖掘其中的知识规律，才能真正理解问题内涵，找到解决问题的本源解法，这也是考题探究、定理探究的目的所在.

而在实际教学中，提出以下几点建议：采用知识探究的方式，引导学生循序渐进地了解定理背景，理解定理定义，总结知识规律，强化定理应用，形成一个系统的闭环探究过程;教学中要注重学生的思维培养，关注学生的思维活动，以学生为主体，充分发挥教师的引导作用，让学生充分思考，形成独立的思维习惯;合理变式探究，定理探究应注重应用理解，立足定理开展应用强化，让学生掌握定理的应用方法、步骤，同时可对比考题的传统解法，让学生感知定理规律的价值.