基于“工学一体化”的傅里叶级数教学设计探讨

严 明

（福州职业技术学院，福建福州，350108）

一、引言

“信号与系统”是我国电子信息大类相关专业都需开设的一门专业基础课，目前国内主流的教材[1-3]对该课程撰写的思路都十分清晰，即由求解微分方程的方法引入，由浅入深地将傅里叶级数（变换）、拉普拉斯变换、Z 变换等知识环环相扣，串成一条主线。然而，傅里叶级数作为时域跨入频域的第一道门槛，因理论公式繁多，让部分学生望而却步，于是出现了死记公式的现象，并对公式感到迷茫且无从下手。为提高学生对傅里叶级数知识的吸收效果，国内本科院校教师进行了一系列教学研究。国防科技大学曹聚亮等[4]提出指数信号的三层次法，通过数学层面、图形层面、应用层面等，尽可能使学生较好地理解时域频域分析过程；西北师范大学唐荣安等[5]建议在教学中从物理诠释方面对傅里叶变换性质进行讲解；王静等[6]从学生认知调查和原因分析入手，在教学设计中设置悬念引出傅里叶级数主题，通过简单、典型的举例进行教学，并进行课后反馈。有的本科院校教师则利用Matlab GUI界面查看傅里叶级数展开项等方式，使学生从直观上理解傅里叶变换。[7-9]而高职高专院校目前在这一方面尚未有探讨。

本文根据高职学生实际情况，提倡“教为主导，学为主体”的教学思想，学生通过动手实践，自主叠加展开项来验证波形，同时利用Matlab 仿真查看三维空间图，从而对傅里叶级数的认识从“客观存在”提升到能“加以分析”的程度。

二、傅里叶级数的教学总体设计

（一）“工学一体化”教学模式简介

工学一体化教学模式从理实一体化发展而来。[10]在传统理论教学中，教师以灌输知识为主，学生被动接受，这势必导致学习积极性的磨灭。著名的职业教育专家赵志群教授中指出，教学要逐渐转变为以学生为中心。为了突出课堂以学生为中心，工学一体化教学以项目或任务为驱动，在确定项目（任务）的主题后，分析为完成该任务需要在任务实施前准备什么；在任务实施过程中做什么、学什么；在任务实施完成后如何进行相应的评价。该教学思路强调学生在实施任务过程中掌握新知识和技能，比较适合高职教育的工科课堂教学。[11]

（二）教学过程结构表设计

为使教学思路更清晰，傅里叶级数教学从单频正弦信号引入，到任务实施与验证，再到师生互动分析等过程，均需进行详细的教学过程设计。现借助工学一体化教学模式，用表格展现任务实施过程中教师和学生需完成的事项和对应的知识点、评价标准等（如表1）。

表1 教学过程表格化设计

三、傅里叶级数教学过程详细设计

（一）课前准备

欧拉公式及三角函数是傅里叶级数两种表示形式间的转换桥梁，因此需要学生课前做好一定的准备工作。教师在课前需提供指数与三角函数如何建立联系的学材：任意一个复数A可在复平面上找到对应的一个点（如图1），当加入单位圆概念后，A 点坐标不仅可以表示为A=a+jb，也可以表示为z=r(cosθ+jsinθ)，教师由此根据极坐标表示方式，引出欧拉公式e^jθ=cosθ+jsinθ，这就在复平面上建立起指数与三角函数间的联系。

令θ=ωt，其中ω 为角频率，则欧拉公式变为：e^jωt=cosωt+jsinωt，随着时间t的推移，欧拉公式等号左边可看作是绕着圆周逆时针不停旋转的点A（如图1），等号右边是A 点绕圆周运动时在时间轴上的投影，即可理解为欧拉公式是A 点的两种表示方式。由于A 点在时间轴t 上的推移，慢慢拉出一条螺旋线，其x 轴投影为cosωt，其y 轴投影为sinωt（如图2）。

图1 复平面上的点

（二）明确任务并制定实施计划

明确本教学任务为：验证傅里叶级数展开式，并理解频谱概念。考虑到任何周期信号的傅里叶级数展开项均由正余弦函数线性叠加而成，学生若能独立分析单一的、或某几个正余弦函数叠加，就可理解无限个线性求和的结果。因此在实施教学时，首先思考单频正弦信号在频率轴上如何表示（即幅度谱和相位谱）。反过来，已知频谱图，求时域的正弦信号表达式，进而得到结论：频域和时域均可唯一表示一个信号（即同一信号的两种表示方法）；更进一步，当展开项（谐波分量）逐渐增多时，验证其趋于某个（矩形）波形；当展开项个数趋于无限个，即为傅里叶级数展开式。

根据以上实施思路，本单元教学场所需为模拟电子技术实训室，或者机房（电脑均已安装Proteus 软件，且可播放音频），本文的教学环境以机房教学为例。

阶段一：从单频正弦波引入频谱概念

已知正弦信号如下：

其中f=50Hz，或ω=2πf，初始相位为π/4（如图3）。为了使学生更快建立起频谱概念，将该波形的横轴由时间t 转为频率后，用幅度谱、相位谱图表示单频正弦信号。反过来，根据幅度谱、相位谱写出时域的正弦信号表达式（注意图3 相位谱中初始角是π/4=0.7854，因此相位谱高度接近0.8）；最后引导学生理解：在频域也能唯一确定正弦信号，频域是信号的另一种表示方式。于是得出结论：我们习惯思维在时域表示一个信号，其实在频域也可表示一个信号，而且时域和频域表示同一个信号的效果是完全相同的。

图3 正弦信号的时域和频域表示（Matlab 单边谱）

阶段二：傅里叶级数展开项验证

为了验证矩形波傅里叶级数是无限多个余弦信号叠加而成，可根据傅里叶级数系数公式，引导学生求解前10 个展开项，学生根据展开项设置Proteus 元器件参数，并在设计的加法器电路（如图4）左边逐项递增地接入展开项的余弦波，通过示波器观察波形变化。电路输出端接喇叭，可对比不同展开项叠加波形后的音频。即通过动手求解系数、眼睛观察波形、耳朵辨别音频等方式加深对傅里叶级数展开项的理解。

图4 多个正余弦信号相加放大的电路图（Proteus）

通过本阶段任务，得到结论：随着谐波分量逐渐增多，叠加的波形越来越接近矩形波（如图5）。当在时域波形越来越接近矩形波时，对应的频域图则按顺序增加对应的谱线（如图6）。也即时域每增加一个谐波分量，频域中就增加一条对应频率的谱线，由此也可说明频域和时域在表示一个信号的形成过程是完全相当的。随着谐波分量无限叠加，波形就趋近于矩形，也就得到傅里叶级数展开式。

图5 谐波分量递增的时域波形（Matlab）

图6 谐波分量递增的频谱波形（Matlab）

阶段三：三维傅里叶级数分析

以上阶段任务实施采用了Proteus、Matlab仿真实践，分别通过验证时域和频域波形来引导学生理解傅里叶级数和频谱的概念，本阶段将时域和频域的图示结合在一张三维空间图中，仍以矩形波的傅里叶级数展开为例。

由于矩形波既是偶函数，又是奇谐函数，因此其傅里叶展开只可能含有奇次谐波的余弦项。图7 为了分析方便，只取前3 次谐波分量分析时域和频域的统一性。从时间轴往右边看，时域叠加波形是由1 次谐波和3 次谐波相加而成；从频率轴往里看，1 次谐波对应频率ω_1，3 次谐波对应频率3ω_1，即两个谐波叠加的波形在频域中也可唯一确定。这将使学生进一步加深在时域和频域中分析同一个信号的理解程度。然而时域的缺陷在于时域波形随着谐波分量的增多，波形计算越来越复杂；而频域分析却十分简单，即一个谐波分量增加一条谱线，因此在信号系统中分析频域是十分有利的。

图7 傅里叶级数的三维空间图

四、教学评价

工学一体化教学中，应尽可能让所有的学生都参与到评价过程中。[12]在本单元的傅里叶级数教学过程中，2 人为一组，以实践过程评价为主，结果性评价为补充。评价的主体包含学生自评、互评和教师评价，除了评价学习态度、沟通协调方面，主要以阶段性任务完成情况为评价单元，根据表1 右侧的评价标准，细化具体行动。评价的目的主要是为学生提供本次课堂实践过程中需要改善的方面，同时也帮助学生梳理知识架构。

五、结束语

本文针对学生在学习傅里叶级数章节时，因理论较多而迷茫问题，借助工学一体化教学中以学生为主体的思路，让学生参与其中，教师引导解惑完成教学任务。通过在高职课堂实践，学生在课堂上不再木然，个别学生甚至在课堂上独立完成三角波的叠加演示图，表明该教学思路提高了学生学习的积极性，而且对提升傅里叶级数教学效果具有一定实际意义。