函数奇偶性

陕西省咸阳市彬县范公中学 杨宝年

函数是高中数学的主线，贯穿于高中数学教学的始终。函数的奇偶性是函数最主要的性质之一，是函数对称性的特殊形式，往往与函数的单调性结合在一起成为函数部分学习的难点，也是高考命题的热点之一。下面我们就讨论函数的这一性质——函数奇偶性。

一、函数奇偶性定义的理解

教材是这样定义函数奇偶性的：一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数。在奇函数f（x）中，f（x）和f（-x）的绝对值相等，符号相反，即f（-x）=-f（x）；反之，满足f（-x）=-f（x）的函数y=f（x）一定是奇函数。图像关于y轴对称的函数叫作偶函数。在偶函数f（x）中，f（x）和f（-x）的值相等，即f（-x）=f（x）；反之，满足f（-x）=f（x）的函数y=f（x）一定是偶函数。函数f（x）是奇函数或偶函数，我们就说函数f（x）具有奇偶性。

二、函数奇偶性的性质

（1）奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称；（2）奇函数f（x）若在x=0处有定义，则f（0）=0；（3）奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性。灵活运用这些性质可以顺利解决很多函数问题。

三、函数奇偶性的应用

例1：已知函数f（x）是定义在（-∞，+∞）上的偶函数，当x∈（-∞，0）时，f（x）=x-x4，则当x∈（0，+∞）时，f（x）=_。

解：当x∈（0，+∞）时，因为f（x）是定义在（-∞，+∞）上的偶函数，所以当x∈（0，+∞）时，f（x）=f（-x）=-x-（-x）4=-x-x4。

【点评】利用函数奇偶性确定函数的解析式，其本质是已知函数在一段区间上的解析式，然后利用奇偶性去求另一段区间上的解析式。这样求出的函数往往是一个分段函数，注意不要写成两个函数。

例2：已知函数f（x）是奇函数，定义域是[a-1，1+2a]，则f（a）=_。

解：因为f（x）是奇函数，且定义域是[a-1，1+2a]，所以（a-1）+（1+2a）=0，即a=0，所以f（a）=f（0）=0。

【点评】要注意：①奇函数的定义域关于原点对称；②奇函数在x=0处有定义，使得f（0）=0。

例3：设函数f（x）对任意实数x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y），若x>0时，f（x）<0，且f（1）=-2，则f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值分别为_。

解：令x=y=0，则有f（0）=2f（0），即f（0）=0，

再令y=-x，则有f（x）+f（-x）=f（0）=0，所以f（x）为奇函数。

设x1，x2∈（-∞，∞），且x10。

因为x>0时，f（x）<0，

所以有f（x2-x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2）-f（x1）<0，即f（x1）>f（x2），

所以f（x）在（-∞，∞）上单调递减，因而f（x）在x=3处取得最小值f（3），在x=-3处取得最大值f（-3）。

又已知f（1）=-2，所以f（2）=2f（1）=-4，

所 以f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=-6，f（-3）=-f（3）=6，

故f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值分别为6和-6。

【点评】赋值法是解该题的必要手段，通过赋值明确了函数的奇偶性，又根据题目条件，用构造法确定了函数的单调性，从而利用函数的单调性求得函数在所求区间上的最值。在求解过程中要会利用题目所给条件进行分析、联想、构造，这是解决综合题目的常见思路。