动作·语言·符号：二年级除法意义的理解与教学

陈文

（福州市台江实验小学，福建 福州 350009）

到小学数学二年级下册除法教学时，教师们普遍存在学生对两种分法意义混淆的教学难题。而症结是一些教师没有按照符合儿童认知规律来落实教学计划。理解除法意义，只要抓住“动作”“语言”“符号”的三个步骤进行。“动作”最典型地体现为低年级学生动手操作学具的过程；“语言”指学生用自然语言描述数学活动的过程；“符号”指最终抽象出的数学算式。这三者之间的递进与统一形成了一种朴素的数学建模过程。它由易到难，由具象到抽象，循序渐进，契合儿童认知发展的规律。可以说，这三个核心词很好地贯穿了二年级下册有关除法知识的单元学习。本文以人教2011 年课标版二年级下册数学教科书为例对此进行阐述。

一、始于动作：认识初体验

心理学家皮亚杰这样描述儿童最初的感知运动阶段：“主要认知结构是感知运动图式。”皮亚杰还指出：“这种协调的动作中已形成了一种动作逻辑，成为以后数理逻辑结构的出发点。”［1］

二年级学习的除法重在描述“平均分”过程与结果。为了逐步揭示除法的含义，首先，应以生活中常见的“每份同样多”的实例和活动情境让学生建立“平均分”的概念；其次，掌握“等分”与“包含”两种分法；再次，在“平均分”概念的基础上引出除法运算。无论是“平均分”的概念引入，还是“两种分法”的意义教学，又或是“有余数的除法”的教学，都应注重初期操作体验，将其塑造为算式符号建模的发端。

（一）在“平均分”教学中激励多样化尝试

教科书P8 例1：“把6 颗糖分成3 份，分一分。”例题中的“分一分”点明了操作环节的重要性。它包括学生进行分物操作的尝试过程与结果的反馈，是建模的基础。受思维定式影响，大部分学生会自动把每份分得同样多，但教师要促成学生尝试多样化的分法，凸显“每份同样多”这种分法的特殊意义。

（二）凸显两种分法操作的不同点

许多学生长期混淆除法两种分法的意义，这源于初期的操作训练没有扎实进行。

1.“等分”中的操作。教科书P9 例2：“把18 个桔子平均分成6 份，每份几个？分一分。”实施操作前，学生须明了已知条件及任务——即把18 个桔子平均分成“6 份”，目的是每份分得同样多。分物过程可能出现多种情况，只要结果是每份分得同样多，各种分法均可，不必刻意强调过程。这往往被一些教师忽略，以至学生将此分法的重点放在“一个一个分”这样的操作表征上。

2.“包含”中的操作。“包含”除法其实是一种连续减法，一年级下册出现的解决问题例题：“28 个橘子，9 个装一袋，可以装满几袋？”——已经渗透了这种连减的计算思想。“包含”分法也是重视平均分的过程和方法，但和“等分”分法过程有所区别，因为“包含”分法在已知条件中规定好了：每几个一份，你只能按照这样分。

二、相伴语言：认识的质飞跃

皮亚杰认知理论中提及儿童开始从具体动作中摆脱出来，凭借象征格式在头脑里进行“表象性思维”［2］，特别是由于语言的出现和发展，促使儿童日益频繁地用表象符号重现外界事物。与具体动作相比，语言的思维更加抽象，是认知的一个进步。

（一）语言概述结果

“平均分”概念的教学在大量分物操作基础上中用语言概述结果，像这样“每份分得同样多”的分法，叫平均分，它突出强调的是分的结果，语言的描述成为点睛之笔；“等分”分法也是借助语言突出这样的结果。如例2 描述为：“把18 个桔子平均分成6 份，每份（3）个”，在这种分法中借助语言来描述其分的过程和结果，为后面除法算式的教学作了很好的铺垫，当这种操作过程到语言的体验不断熟练继而转到抽象出除法算式（符号），自然就水到渠成。

（二）语言伴随操作

与前面的语言描述过程与结果不同，“包含”分法强调操作与语言表达的统一。在教学时可以指导学生们一边分，一边说：“8 个果冻，2 个一份，2 个一份……可以分成这样的4 份。”“包含”分法的语言伴随着操作进行，为抽象出除法算式（符号）做铺垫。语言表征比操作抽象，又比符号形象，在低年级儿童未完全脱离抽象思维的情况下起到很好的承接作用。语言的相伴，让除法意义的认识有了质的飞跃。

三、归于符号：三者互通畅

在操作、语言之后抽象出除法算式（符号），构建了三者之间的先后关系，但是这种关系并不是单线、单向行进的。教师要引导学生建立分的过程（操作表征）、语言表达过程（语义表征）、口算过程、竖式书写过程（符号表征）之间一一对应的关系，理顺动作、语义、符号三者的关系，有来有回，使学生在理解除法意义的同时真正完成对除法算式的建模。

（一）符号非孤立

在进行了动作与语言模块的铺垫之后，要开始引导学生掌握符号，即除法算式。需要注意的是，教师不能孤立地看待符号。有些教师会提出这样的疑问：在除法的含义中，“24÷3=8”除了表示“把24 平均分成3 份，每份8 个”以及“24 里面有8 个3”，能不能表示成“24 里面有3 个8”？笔者认为不要孤立阐述除法算式的含义，而是要结合具体的情境让学生充分体验平均分的过程、结果与除法算式中各数的对应关系；除法算式或语言表达其实就是分物过程的再现，脱离情境去描述除法算式的意义是不妥的。

（二）回头是关键

许多教师也按照此三者步骤有条理地教学，但有时效果不佳，关键问题就是没有从最后的“符号”回归到“语义”与“操作”的层面。

教科书第60 页中的“例1：初步认识有余数除法的含义”的教学要抓住两个要素的“对比”，其一是平均分结果的对比，其二是除法横式的对比。教师要引导学生借助实物，从操作与语言表义的结合过渡到算式符号的抽象，并且还应从算式符号回归图形与语言，进行两种情境的对比，建立有余数除法的模型。简言之，就是看着除法算式即能用语言清晰描述操作过程。回归原初、顺畅联系，才算真正掌握了除法意义。

（三）符号与桥梁

除法竖式的建模对学生来讲是一个十分困难的问题，究其根本，学生不是不懂计算，而是不懂除法竖式的含义和写法。［3］因此，教师不仅要建立图形与符号间的桥梁，还应建立符号与符号间的桥梁。

教科第63 页例3 除法竖式的教学可以不用动手摆一摆，直接根据题意（属于“语言”范畴）写横式（属于“符号”范畴），之后要从横式再回归语言与图画。此时的动作已经过渡到图像，“数形结合”的思维变得尤其重要，这为下面竖式的书写建立良好的基础。实际上，竖式的书写就是借助符号描述分物过程的一种方式。除法竖式与横式虽同为符号，但遵循一种全新的运算模式和符号应用模式。因此，旧符号与新符号之间，新符号与图示之间的顺畅沟通变得尤为重要。在竖式学习的环节中，可以引导学生带着两个关键的问题进行自学。其一，横式中的每个数能否在竖式中找到，即重视横式与竖式对比；其二，能否说一说竖式中的每个数分别表示图中的什么意思，即重视数形结合。自学后，学生可以搭建起除法中横式与竖式、竖式与图形互通的桥梁。

除法意义教学中的“操作、语言、符号”不是简单的先后三部曲，而是相伴相生、回归顺畅这样一种充满逻辑的关系。教师必须对其中蕴含的数理逻辑有较为深刻的把握，才能让学生经历循序渐进的认知过程，真正掌握蕴含其中的有关除法的数学道理。