怎样求解二面角问题

吴文

二面角是高中立体几何中的重要知识点.二面角问题是各类试题中的常见考点.常见的命题形式是：     （1）求二面角的大小或余弦值；（2）证明二面角为直二面角；（3）求二面角的取值范围.解答此类问题主要有两种方法：定义法和向量法.

一、定义法

二面角的大小通常由其平面角的大小决定，因此求二面角的大小，往往要求得其平面角的大小.这就需根据二面角的平面角的定义，在二面角的棱上任取一点，过该点在两个半平面中分别作垂直于棱的直线，根据勾股定理或正余弦定理求得这两条垂线之间的夹角，即二面角的平面角的大小，就能知晓二面角的大小.在运用定义法求二面角时，要重点寻找题目中的垂直关系，以便快速求作二面角的平面角.

例1.如图1所示，在三棱锥 S -ABC 中，∠SAB =∠SAC =∠ABC =90°，SA =AB ，SB =BC .

（1）证明：平面 SBC ⊥平面 SAB；

（2）求二面角 A -SC -B 所对应的平面角的正弦值.

本題中的垂直关系较多，于是从其垂直关系入手，通过作垂线 AE ⊥ SC ，根据线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理，证明 AD⊥ SC ，便可根据二面角的平面角的定义，确定二面角A-SC-B 的平面角，再利用等腰三角形的性质和公定理求得二面角的平面角的正弦值.

二、向量法

例2.在四棱锥 S -ABCD 中，SA⊥平面ABCD，底面 ABCD 为直角梯形，∠ABC =90°，AD =，SA =AB =BC =1，求平面 SCD与平面 SAB所成角的大小.

首先根据 SA ⊥平面 ABCD 以及∠ABC =90°建立空间直角坐标系，再设出或求出各点的坐标，并求得平面 SCD与平面 SAB 的法向量，计算出其夹角，便可顺利求得平面 SCD与平面 SAB所成角的大小.向量法通常适用于求解方便建立空间直角坐标系的问题.

相比较而言，定义法比较常用，且适用范围较广.向量法的适用范围较窄，运用该方法解题，应转换解题的思路，将几何问题转化为向量运算问题.

（作者单位：江西省抚州市金溪县第一中学）