Stancu型q-Bernstein-Durrmeyer算子的统计逼近性质

任美英

（武夷学院 数学与计算机学院，福建 武夷山 354300）

自1997年Phillips[1]提出并研究q-Bernstein算子以来，q-微积分在逼近论中的应用成为一个研究热点，很多逼近论方向的专家学者致力于该领域的研究，研究成果较为丰富[2-5]。2019年，任美英研究Stancu型q-Bernstein-Durrmeyer算子的逼近性质，得到了算子列的一个Korovkin型收敛定理，并给出算子列收敛速度的一些估计[6]。

为研究Stancu型q-Bernstein-Durrmeyer算子的统计逼近性质，引入q-整数和q-微积分的若干概念[7-8]。对任意固定的实数q＞0和非负整数k,q-整数和q-阶乘分别定义为：

Beta函数的q-模拟定义为：

其中：α，β是给定的两个实参数，满足0≤α≤β。

1 引理

为了研究的需要，引入几个辅助结论。

2 统计逼近

注意：任何收敛数列是统计收敛的，但反之不然[12]。

设B[a,b]表示定义在区间[a,b]上的所有有界函数的集合，C[a,b]表示定义在区间[a,b]上的所有连续函数的集合。

2002年，Gadjiev和Orhan将统计收敛概念应用到逼近理论中，得到了如下关于统计收敛的Bohman-Korovkin型逼近定理[13]。

设序列q=｛qn｝,0＜qn＜1满足条件：

下面给出Stancu型q-Bernstein-Durrmeyer算子的统计逼近定理。

定理2 让序列q=｛qn｝,0＜qn＜1满足条件（5）,则对任意f∈C[0,1],有

证明 由Stancu型q-Bernstein-Durrmeyer算子和q-Jackson积分的定义知，对任意f∈C[0,1]，是从C[0,1]到C[0,1]的正线性算子列。对eν（t）=tν，ν=0,1,2，由（2）式,显然有

对任意给定的正数ε，令

综合（6）式、（8）式和（10）式，由定理1可知，所述的结论成立。

3 统计收敛速度

对f∈C[0,1]和δ＞0,f的连续模定义为：

又因为对λ＞0，有ω（f,λδ）≤（1+λ）ω（f,δ），所以，对任意的t,x∈[0,1]和δ＞0有

下面将借助连续模，给出Stancu型q-Bernstein-Durrmeyer算子的统计收敛速度。

定理3 让序列q=｛qn｝,0＜qn＜1满足条件(5),则对任意f∈C[0,1],有其中