数学思想在初中数学解题教学中的渗透

周洋

【摘要】在数学这门学科中，数学思维方法非常关键，需要学生具备一定程度的理解和领悟，才能够自主完成知识网络的架构，才能提高解题能力、应用能力，从而发展学科综合素养，树立正确的科学探究意识.进入初中阶段之后，教师需要在解题过程中合理渗透数学思想与方法，这样既可以帮助学生完成对数学思维模式的梳理和架构，又可以促进其对知识的感悟，实现灵活运用，也只有这样才能够在解决实际问题的过程中真正经历发现、归纳以及总结等一系列思维过程，发展学科综合素养.

【关键词】归化思想;思维方法;解题分析

1 借助数形结合，化抽象为形象

在数学思想方法中，包含的内容极其广泛，例如分类讨论思想、数形结合思想、化归思想等等.进入初中阶段之后，数学知识体系中的难点知识就是函数问题，这也是中考必然会考核的重点知识，需要教师在具体的教学过程中实现正确的引导以及有效渗透，特别是数形结合思想，充分利用了图形的形象性，也能够将其与数字的具体性一一对应，既能够帮助学生化解函数等问题，又有助于提高学生的解题效能.

1.1 运用数形结合，理清数学概念

在初中数学知识体系中，数学概念是重要的构成.如果初中生对数学概念不理解，那么，他们就不能够进行高效化解题，运用数形结合的策略能够帮助学生理清数学概念，为高效解题奠定基础.

例如 在二次函数部分，学生对二次函数的系数a，b，c的理解就很困难，这些符号很抽象，这时我们就可以借助二次函数的图像，利用数形结合的思想帮助学生来认识和理解a，b，c等很多二次函数的性质，如a看开口方向和大小，b看对称轴的位置，c看抛物线y轴的交点的位置，b2-4ac看抛物线与x轴交点的个数，a+b+c，a-b+c， 4a+2b+c， 4a-2b+c的正负如何判断等等.

1.2 运用数形结合，找准解题思路

在初中数学解题教学中，要善于运用数形结合帮助学生找准解题思路，这样就能够达到事半功倍的教学效果.

例如 图1直线y=kx+b与y 轴，x轴分别交与点A（0，2）B（4，0），当x满足什么条件时，

（1） kx+b>0，（2） kx+b =0 ，

（3） kx+b<0，（4） 0<kx+b<2 ？

类似于这种求方程的解或求不等式的解集等问题，学生理解起来难度较大，这时我们可以引导学生画出一次函数的图像，利用数形结合的思想，指导学生：

kx+b>0是指x轴上方的直线y=kx+b部分，所以，它的解集是x<4;

kx+b =0是指直线y=kx+b与x轴的交点，即它的解是x=4;

kx+b<0是指x轴下方的直线y=kx+b部分，所以，它的解集是x>4;

0<kx+b<2是指直线y=kx+b在x轴与y=2之间的部分，所以，它的解集是0<x<4.

这样借助数形结合，就能够改变原本抽象的数学问题，使其具体化、简单化，更利于学生理解和解决.数形结合的引入能够提高学生的迁移以及转化能力，需要教师立足于教学日常有意识的渗透，这样学生才能够在面对实际问题时，灵活的引入数形结合，发现其中的对应关系，完成知识的巩固，强化学科综合素養.

2 运用数学转化，化复杂为简单

进入初中阶段之后，转换思想也同样关键，这是数学思想中的精髓所在，也是解决问题的有效方法，简单地说，就是找出相似或者接近的方法用于解决这一问题.实际教学过程中，可以选择一些典型问题作为具体的教学案例，这样就能够使抽象、复杂的数学题变得更加简单、直接，也能够突出考核要点.

对于教师而言，其根本目的就是要引导学生掌握解析题目的方法以及转化问题的技能，这些都能够帮助学生进一步提高解题能力.

2.1 以形助数

由于某些数量关系具有非常突出的抽象特质，很多初中生并不能够准确把握，但是“形”却具有与之相反的特点，那就是形象、直观，借助这一优势能够用于映射具象思维，能够为学生解决问题起到重要的定性作用.

结合解决问题的现实需求，我们在处理一部分包含抽象质量关系的问题时，经常将其转化为图形，以此展开讨论，换言之，就是将“数”结构与“形”结构相互关联，改变原有的抽象特质，为学生呈现直观形象的图形，然后再对图形展开研究，这样就更易于学生发现潜藏于问题中的隐含条件，找到解题线索，简化求解过程.

例如 解不等式x-1≥-x2+2x+1.

初中生还未接触过一元二次不等式，在解决此题的过程中可以引入图像法.

令y1=x-1，y2=-x2+2x+1，由此便可以在相同的坐标系中分别位置y1和y2图像，在有了两个直观的函数图像之后，只需要满足一个条件，也就是函数y1在y2图像上方所对应的范围，这样就能顺利得出不等式的解集.

所以，为了解决这一不等式，首先需要分别求出两函数的交点，然后对图像展开细致观察，再推导出结论，更加轻松便捷.

2.2 借形理解

在初中数学解题教学中，引导学生借形理解题意十分重要，这样就能够让学生在这个过程中快速地找到解题思路.

例如 主人新购置了一批货物，小马和小驴分别驮着这些货物走在回家的路上，小马不停地抱怨自己的货物太重，都不能喘气，小驴立刻反驳：自己身上的更重，如果小马分给它一袋货物，小驴头的货物的袋数将是小马的两倍.小马也立刻回击：如果你分给我一袋货物，那么我们所驮的货物数量就相同.请问小马和小驴各自驮了多少袋货物？

当学生初看此题时，立刻会被生动形象的情境所吸引，但是一到解题时却不知所措，因为题目中包含了各种复杂的条件，绕来绕去，既不能理清题意，又难以算出正确的答案.

此时，我们可以这样对学生进行引导：如何才能对题目进行简化？如何才能去掉和题目无关的信息？

发动学生展开讨论，在师生的共同努力下，题目就被变成了这样：小马给小驴一袋货物之后，小驴的货物是小马的两倍;小驴给小马一袋，它们驮的数量相同;再继续转化，将小马和小驴用一个字母来表示，就可以将这道题变成以前所学习的代数问题：有两个数x、y，根据第一个条件可以得出x+1=2（y-1），根据第二个条件可以得出x-1=y+1;最后分别求出x、y即可.看到此时，学生便能够理解，可以通过建立二元一次方程组来解决这一问题.

对于一部分数学问题而言，并不会是以简单的数形转变而呈现，而是体现了数形之间的相互变化，这也就意味着，我们需要展开探讨，如何能够将形的直观转化为数的严密，还要反向转换和联系.所以，针对此类问题的解决，必须要准确把握已知和结论，只有深入分析，才能挖掘潜藏于其中的数形互变.

例如 求12+14+18+…+12n的值.

对于这一道题，可以让学生用一张边长为1的正方形纸片进行折叠，分别标出正方形面积的12、14、18、……要求学生根据所掌握的知识，利用数形结合思想，推导当n为正整数时，12+14+18+…+12n的结果（用n表示）.

此类习题对于初中生而言，显然还是具备一定难度的，需要引入数形结合思想.

利用剪刀对正方形纸片进行裁剪，第1次剪去整张纸的一半，余下的面积为12;再将余下的图形剪去一半，由此得到图形面积的14;第3次仍然是对余下图形进行裁剪，减去一半之后得到的面积就可以标识为18.以此类推，然后将每次剪下的图形面积相加，就可以得出答案.

由此可见，以数形结合思想解决问题，就是在这一过程中将数与形联系在一起进行考察，分析问题的具体情形，然后利用图形性质将其转化为数量关系，或者反向转化，不仅可以使原本复杂的问题进行简单化处理，也改变了其抽象特质，是益于学生把握的有效方案.在数学解題过程中引入这一数学思想，是简化问题的有效举措.

3 借助方程思想，化单一为系统

所谓方程思想，也是一种思维策略，就是利用未知数建立等式，这也是初中学习的重难点所在.

通过对中考题型的梳理可知，一般会从以下方面进行考察：给出方程和条件，求解未知数;将其与函数图像结合，在给出一部分条件之后求解未知数，利用实际问题求取最大、最小值等.在初中数学解题教学中，运用方程思想能够引导学生进行系统化思考、解题.

例如 建一羊圈，可以利用一面长度为25m的墙，同时使用100m的围栏，使羊圈的面积可以达到400 m2，并确保所围成的羊圈可以平均分成三个等大的矩形，分别求羊圈的长与宽.

根据已知题意，可以设垂直于墙的边为xm，而羊圈的面积就是（100-4x）x=400，根据限定条件可知100-4x≤25，这样就能顺利求解x.

对于这个例子而言，是一个现实问题，需要学生结合方程思想，也要引入图形，还要分析已知和未知量之间的关系，这样才能完成建模，才能够将问题带入到模型中，以此顺利解决问题.

4 结语

总之，在进入初中之后，数形结合思想需要贯穿数学学习始终.只有实现数形的深入结合，才能更好地解决问题，与此同时，在发展学生空间观念以及数感等方面，也具有极其显著的启发作用.

为了提高学生的数学学习效能，必须要渗透数学思想，既是为了帮助学生强化思维模式，也是为了使学生可以树立科学的思维方法，这样在面对问题时，才能做出客观的分析、理性的解决，才真正能够自觉主动的运用、深化对数学知识方法的理性认知，还能够在解决问题的过程中梳理总结解题策略，掌握学科精髓.

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